こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。
突然ですが、以下の式を見て、
何のことかピンと来ますか？
conα＋conβ = 2cos{(α－β)/2}・cos{(α＋β)/2}
sinα ＋ sinβ = 2cos{(α－β)/2}・ sin{(α＋β)/2}
これらは、三角関数の和積変換公式です。
数学Ⅱの教科書だと発展的内容のところに
掲載されていますが、、数学Ⅲの三角関数の積分で
登場しよく使用する公式です。
和積変換公式は加法定理を組み合わせて
割と簡単に導出することはできるのですが、
テストで毎回導出するには、少々面倒に感じますよね。
かといって、暗記しようとするとごちゃごちゃになり、
結局、テスト中に急いでいる中、時間を割いて導出する
ことになるというケースは少なくないのではないかと思います。
そこで、今回は加法定理を組み合わせるよりも
もっと簡単に三角関数の和積変換公式を導出する方法を
紹介したいと思います。
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まずは、単位円上に点Aと点Bがあるとします。
また、点Cを四角形OABCが平行四辺形になるように
とります。
上図のように∠AOX=α、∠BOX=βと置くと、
点Aと点Bの座標は以下のように表せます。
A(conα,sinα)、B(conβ,sinβ)
すると、ベクトルの和の考え方で点Cは
以下のように表すことができます。
C(conα＋conβ,sinα＋sinβ) ……①
ところで、点Cは別の表し方もできます。
ではここで、∠COXをαとβを使って表そうと
すると、どのように表すことができるでしょうか？
まず、四角形OABCがひし形であるため、
線分OCは∠AOBの二等分線になります。
よって、∠AOCおよび∠COBをαとβを使って表すと、
∠AOC = ∠COB = (α－β)/2 ……②
となります。
∠OOX = ∠COB＋∠BOX
= (α－β)/2＋β
= (α＋β)/2 ……③
と表すことができます。
よって、線分OCの長さをAと置くと、
点Cは式③を考慮して
C(Acos{(α＋β)/2},Asin{(α＋β)/2}) ……③
と表すことができます。
では、線分OCの長さであるAを
αとβを使って表そうとすると、
どのように表すことができるでしょうか？
線分OCと線分ABは直角に交わります。
交点を点Dと置くと、式②を考慮して
OD = OA × cos{(α－β)/2}
となります。
点Aは単位円上の点ですから
OA = 1 であることを考慮すると
OD = cos{(α－β)/2}
です。
また、
点Dは線分COの中点ですから
OC = 2 × OD = 2cos{(α－β)/2} ……⑤
となります。
以上、式③と式⑤より、点Cは
C(2cos{(α－β)/2}・cos{(α＋β)/2},2cos{(α－β)/2}・sin{(α＋β)/2})
……⑥
と表すことができます。
式①と式⑤は同じ点Cの座標を表現したものであるため、
conα＋conβ = 2cos{(α－β)/2}・cos{(α＋β)/2}
sinα ＋ sinβ = 2cos{(α－β)/2}・ sin{(α＋β)/2}
となるわけです。
一度理解してしまえば、視覚的考えられるため、
頭の中で平行四辺形を描いてパッと導出できるのでは
ないかと思います。
もしよかったら試してみて下さい。
(八千代緑が丘校 轟)
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