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【第3回】漸化式を克服しよう!

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

a(n+1)とa(n)の係数が一致しない場合は、
漸化式を以下のような、等比数列の型の式に
変形できる。

f(n+1) = r × f(n) ……(※)

このような型に式変形できれば、
一般項a(n)を求めることができる。

では早速、問題を見てみましょう。
次のように定義される数列の一般項を求めよ。
ファイル 3301-1.png

すでに、式(※)の形に式変形されているため、
以下のように、機械的な作業で求められる。

ファイル 3301-2.png

漸化式の問題において、与えられた式を
式(※)の型に変形できれば、
本問のように計算処理をして、一般項を
求めることができるのである。

第3回はここまで。
今日もお疲れ様でした。

(八千代緑が丘校 轟)

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【第2回】漸化式を克服しよう!

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今回は、
ファイル 3300-1.png
という型の漸化式を扱っていきます。

では早速、問題を見てみましょう。
次のように定義される数列の一般項を求めよ。
ファイル 3300-2.png

これは等差数列と同じ型になっていることに気が付きますか?

前の項にf(n)を足すと次の項になっていますね。
ただ、等差数列と異なるのは、前の項と次の項の差が
等差dではなく、nによって変化するf(n)になっているという点です。

見方を変えると、階差数列がf(n)になっているわけです。

よって、このような漸化式を解く際には、
一般的に以下のように解きます。
ファイル 3300-3.png

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では、上の問題の解答を以下に記載します。
ファイル 3300-4.png
ファイル 3300-5.png

第2回はここまで。
今日もお疲れ様でした。

(八千代緑が丘校 轟)

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【第1回】漸化式を克服しよう!

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

生徒から「参考書を読んでも漸化式がよくわからない」
という声がありました。
他にも漸化式が苦手という人は少なくないと思いますが、
「わからない」って嫌ですよね。

そこで、今日から、何回かにわたって、
漸化式を克服したいと思っている方に向けて
漸化式の問題の解き方について解説していきたいと
思います。

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漸化式の問題を解く際に、このことを頭に入れておいて
頂きたいと思います。

漸化式で定義された数列の一般項を求め方の基本は、
与えられた漸化式を適当に変形して、下の(1)または(2)
の型に帰着させる
ことなんです。

ファイル 3299-1.png

(1)の型であれば、dを足すことで次の項になるため、
等差数列であることがわかります。

そして、(2)の型であれば、rをかけることで
次の項になるため等比数列であることがわかります。

考え方はいたってシンプルなのですが、与えられた漸化式を
上の原型に式変形するのが難しいのだと思います。

参考書では、「こういうパターンのときは特性方程式を使うんだよ」
など、様々なバリエーションがあり、把握して覚えるのが大変と
感じる人が多いと思います。

勿論、巷の参考書の通り、解法を覚えて解けば、
答えにたどり着けますから、その通りやって頂いて良いのですが、
ただ、それができないから現在苦手なのではないでしょうか?

そこで、今回のシリーズでは、どんな漸化式でも、先に述べた原型に
式変形すれば解ける
ということを意識して頂きながら
「そう考えれば解けるのね。案外難しくないじゃん。」
と思って頂けるように書いていきます。

巷の参考書に掲載している解き方についても
合わせて掲載していきたいと思います。

では、第1回はここまで。
次回から、具体的な問題を通して、解き方について
解説していきたいと思います。

(八千代緑が丘校 轟)

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五井駅前校!

みなさん、こんにちは。
五井駅前校の富田です。

だいぶ暖かく(熱く?)なってきましたね。
新学年もスタートし、充実した高校生活はおくれていますか!?

4月は何かと変わり目の月です。
学習も、部活も、遊びもぜひ心機一転頑張りましょう!

さて、今日はpremium高校部東進衛星予備校五井駅前校について
お伝えしたいと思います。

3月1日より、私は五井駅前校に赴任いたしました。
改めましてよろしくお願い致します。

五井という地名皆さん、ご存じですか??
そう、「内房線」で蘇我から約10分程度のところにあります。

内房線地域では割と栄えている地域で、お店や塾もたくさんあります。
塾内には小湊鉄道に住んでいる生徒もちらほら。

在籍生徒の高校は私立最難関の渋谷幕張から県立千葉高校、木更津
高校と様々です。

なんといっても、五井駅前校の特徴一言でいうと「アットホーム」
ですかね。
まだまだこれから生徒数を増やしていきたい校舎ですが、その分
皆一生懸命に学習に取り組み、それでいて先生と生徒の距離が
とても近い校舎です。

また、ブースも広く、セミナールームも完備されているので学習
スペースもとても充実しています。
ご飯を食べられる休憩スペースもしっかりありますよ。

ファイル 3206-1.jpg
(広いブースです)

ファイル 3206-2.jpg
(受付スペースではスタッフが笑顔で迎えます!)

ファイル 3206-3.jpg
(ゆったりとした休憩スペース)

ファイル 3206-4.jpg
(ホームルームの様子です)

とまあ、こんな感じですが、もし内房線にお住いの高校生の皆さん
やご友人で内房線の方や小湊沿線にお住いの方、どうぞお気軽に
校舎をご覧にお越しください。

現在、premium高校部各校舎では東進の授業を体験できる「一日体験」
6月11日に開催される無料の「全国統一高校生テスト}など、夏の
各種イベント申込受付中です!

また、こちらは五井駅前校限定で普段の学習の悩みや志望校などの
相談ができる「個別相談会」も開催中です!

・4/22(土)13:00~ 15:00~ 17:00~
・4/29(土)13:00~ 15:00~ 17:00~

お好きな時間でお問い合わせください。
詳細はお電話でお伝えしますので、下記ホームページから検索を!


本当に気軽な気持ちで構いませんので、校舎までぜひ足を運んでください。

スタッフ・チューター一同心よりお待ちしております。

(五井駅前校 富田)

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和積変換公式を素早く導出する方法

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

突然ですが、以下の式を見て、
何のことかピンと来ますか?

conα+conβ = 2cos{(α-β)/2}・cos{(α+β)/2}
sinα + sinβ = 2cos{(α-β)/2}・ sin{(α+β)/2}

これらは、三角関数の和積変換公式です。
数学Ⅱの教科書だと発展的内容のところに
掲載されていますが、、数学Ⅲの三角関数の積分で
登場しよく使用する公式です。

和積変換公式は加法定理を組み合わせて
割と簡単に導出することはできるのですが、
テストで毎回導出するには、少々面倒に感じますよね。

かといって、暗記しようとするとごちゃごちゃになり、
結局、テスト中に急いでいる中、時間を割いて導出する
ことになるというケースは少なくないのではないかと思います。

そこで、今回は加法定理を組み合わせるよりも
もっと簡単に三角関数の和積変換公式を導出する方法を
紹介したいと思います。

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まずは、単位円上に点Aと点Bがあるとします。
また、点Cを四角形OABCが平行四辺形になるように
とります。
ファイル 3205-1.png

上図のように∠AOX=α、∠BOX=βと置くと、
点Aと点Bの座標は以下のように表せます。
A(conα,sinα)、B(conβ,sinβ)

すると、ベクトルの和の考え方で点Cは
以下のように表すことができます。
C(conα+conβ,sinα+sinβ) ……①


ところで、点Cは別の表し方もできます。

ではここで、∠COXをαとβを使って表そうと
すると、どのように表すことができるでしょうか?

まず、四角形OABCがひし形であるため、
線分OCは∠AOBの二等分線になります。
よって、∠AOCおよび∠COBをαとβを使って表すと、
∠AOC = ∠COB = (α-β)/2 ……②
となります。

∠OOX = ∠COB+∠BOX
= (α-β)/2+β
= (α+β)/2 ……③
と表すことができます。

よって、線分OCの長さをAと置くと、
点Cは式③を考慮して
C(Acos{(α+β)/2},Asin{(α+β)/2}) ……③
と表すことができます。

では、線分OCの長さであるAを
αとβを使って表そうとすると、
どのように表すことができるでしょうか?

ファイル 3205-2.png

線分OCと線分ABは直角に交わります。
交点を点Dと置くと、式②を考慮して
OD = OA × cos{(α-β)/2}
となります。

点Aは単位円上の点ですから
OA = 1 であることを考慮すると
OD = cos{(α-β)/2}
です。

また、
点Dは線分COの中点ですから
OC = 2 × OD = 2cos{(α-β)/2} ……⑤
となります。

以上、式③と式⑤より、点Cは
C(2cos{(α-β)/2}・cos{(α+β)/2},2cos{(α-β)/2}・sin{(α+β)/2})
……⑥
と表すことができます。

式①と式⑤は同じ点Cの座標を表現したものであるため、
conα+conβ = 2cos{(α-β)/2}・cos{(α+β)/2}
sinα + sinβ = 2cos{(α-β)/2}・ sin{(α+β)/2}
となるわけです。

一度理解してしまえば、視覚的考えられるため、
頭の中で平行四辺形を描いてパッと導出できるのでは
ないかと思います。

もしよかったら試してみて下さい。

(八千代緑が丘校 轟)

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全国統一高校生テスト 申込受付開始!!

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今日から、全国統一高校生テストの
申込受付が始まりました。

ファイル 3204-1.jpg

対象:高3生、高2生、高1生、高0生
   (高0生:高校生レベルの学力を持った中学生)
日程:6月11日(日)
費用:無料招待

<全国統一高校生テストとは>
「独立自尊の社会・世界に貢献する人財を育成する」
という教育目標を掲げる東進が、
住んでいる地域や経済的な事情に関係なく、
すべての高校生に学力向上の機会を広く提供するため、
「全国統一高校生テスト」を年に2回実施し、
いずれも無料で無料でご招待している模擬試験のことです。

<試験の内容>
全国統一高校生テストは実際の大学入学共通テストと
同じレベル・出題形式の本番さながらの模擬試験です。

さらに統一実施日に試験会場での厳正実施により
学力を正確に測ります。
本番の難易度や科目・分野ごとの得意不得意を知ることで、
最終目標を見据えた学習が可能になります。

<受験部門>
全学年統一部門・高2生部門・高1生部門の
3部門で実施致します。

【全学年統一部門】
大学入学共通テスト本番と同じレベルの問題を出題します。
来年1月の「大学入学共通テスト」の予行演習として、
現在の基礎学力の総点検ができます。

【高2生部門・高1生部門】
各学年の新課程の履修範囲に沿って大学入学共通テストに
対応した問題を出題します。
大学入学共通テストの問題形式を早期に体験できます。


本日早速、高校1年生だけでも3名の方から
お申込みがありました。
お申込み、ありがとうございます。

全国統一高校生テストは例えると運動会。
知識・思考力の競技のようなイベントです。
ぜひ、みんなで盛り上がっていきましょう。

皆様からのお申込み、心よりお待ちしております。

(八千代緑が丘校 轟)

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受講が目的ではない!

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

『授業はしっかりと聞いて理解しているけれど
 なぜか成績が上がらない』

皆さん、こんなことを感じたことは
ありませんか?

原因として、ざっと以下3点が挙げられます。
①授業の受け方が受け身になっている
②復習や授業内容の暗記が不十分
③授業後の自主的な問題演習が不十分
 (授業を受けっぱなしの状態になっている)

①授業の受け方が受け身になっている
特に映像授業の場合、聞き逃したら映像を戻す
ことができるため、緊張感や集中力が欠いた状態
だったり、受け身の状態で映像を再生してしまう
ということがありがちです。

ではここで、自分の普段使っているテキストや
ノートを見てみて下さい。

先生がテキストに傾向ペンを引くように指示をした
ところに線が引いてあったり、板書はノートに漏れなく
しっかりととる。

ここまでは、多くの方ができていると思います。
しかし、先生が板書に書いていなくても、
自分の知らなかったことや、板書だけでは
後でノートを見返した際に解読が難しそうな
ところは、授業中に補足説明としてノートに
しっかりと書いていますか?

以前、「授業中に先生が解説した問題の解き直しをしたら
ノートを板書を見てもよくわからない」と
質問に来た生徒がいました。

復習をしている時点で、よく頑張っているなと思っています。
ただ、その生徒自身が、自分のノートを見返すと、
自分でも何を書いているのかわからないと言うのです。

生の授業で、急いで書いているから乱筆になってしまった
というのならわかるのですが、映像授業でそんなことは
ありえないでしょう。

これ、自分にも当てはまるという方は、
改善策としては、これと真逆の行動をとればOK。

東進の映像授業では、授業中に問題の解説が行われるため、
その解説の前に、自分で手と頭を動かして問題を解いてみて、
授業中は、自分がわからないところを吸収しようという意識を
持ち、自分が予めわかっていなかったことを、先生の話を聞いて
把握し、ノートにしっかりと残しておくようにしましょう。


厳しい言い方をすると、授業を受けて満足してしまっている
のだと思います。

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②復習や授業内容の暗記が不十分
映像授業を見て、「なるほど!」となって終わってしまう
というケース、結構多いのではないでしょうか。

東進などの大手予備校の講師は、知識があって、
なおかつ授業がわかりやすい。
それだけでなく、生徒を楽しませるパフォーマー
でもあるため、「なるほどっ!!」と納得させやすい
という特徴があります。

ただ、「なるほどっ!!」で終わってしまっては
力がつきません。

授業を受けるために東進に入塾するわけでは
ないですよね?
志望校に合格するために、テストで点数をとる
力をつけるために入塾するわけですよね?

授業を受けるだけでは力はつきません。
授業で扱った問題の類題を解いてみて
自力で解けることを確認するところまで
取り組む必要があります。

多くの生徒が好きな数学の青チャートを例にすると、
基本例題で解き方を理解するだけでは不十分。
基本例題の下に付いている練習の問題を手を動かして
解けるかどうか確認するところまでしっかりと
取り組むことが大切です。
(よく時短のために基本例題だけ取り組もうとする高校生
がいますが、そのやり方は推奨しません。)

ですから、予習の段階で解けなかった問題については
授業後に、もう一度手を動かして解いてみて下さい。

東進の授業の中には、テキストに復習用の問題が付随
しているものがありますので、ぜひそれも活用してみて下さい。

ファイル 3202-1.jpg ファイル 3202-2.jpg

③授業後の自主的な問題演習が不十分
上記の①と②を改善した段階である程度効果が
見込めるのですが、できれば③も改善しておきたいところです。

人間は、誰しも残念ながら時間がたてば忘れてしまいます。
授業で一度しっかりと理解した内容でも
入試本番までの間に、何度も何度も繰り返し触れていく
必要があります。

そこで必要になるのが、問題集等を通した問題演習。
(東進の高速基礎マスターでは、数学の基礎力と計算力を
補うための数学 計算演習というコンテンツがあるので、
それを活用するのも手です。)

限られた授業時間内で、全てを網羅することは
できないですから、類題や、類題ではない新たな題材の
問題も、積極的に手を動かして、そして、頭を動かして
解いていって頂きたいと思います。


というわけで、今日は学習の取り組み方について
書かせて頂きました。
これらをしっかりとやり続けることは簡単なことでは
ありません。根気が必要です。
しかし、だからこそ、チャンスなんです。
やる人と、やらない人で、力のつき具合にしっかりと
差が出てきますから。

皆さんはどっち?

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大学はワクワクする学びの場

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

本日、東京大学で入学式が行われました。

去る4月7日(金)には京都大学の入学式が行われ
湊長博学長の式辞をブログでも紹介させて頂きました。
藤井輝夫 東京大学総長の学式の式辞の内容も
とても興味深い内容でした。
https://www.u-tokyo.ac.jp/ja/about/president/b_message2023_01.html

<イノベーション>
イノベーションという言葉を聞くと、I-phoneの登場を
連想する方も少なくないと思います。
既存の技術を組み合わせると、それまでにない新たな物が
生まれる、それがイノベーションだったりします。

イノベーションの方法は大きく二つあると
藤井総長はおっしゃています。

『一つは、組織のなかに多様な人材を入れること。
 もう一つは、外に出て、多様な経験をし、人脈を広げることです。
 前者の「多様な人材」に関わるものとして
 ダイバーシティ&インクルージョン(D&I)宣言が、
 後者の「多様な経験」に関わる例として「Go Global Gateway」
 「FLY Program」「フィールドスタディ型政策協働プログラム」
 「東京大学グローバル・インターンシップ・プログラム」

 などの大学を社会に開く体験型の活動が浮かびあがってきます。』

ざっと見ても、様々な取り組みをされている
ことを感じます。

アメリカでは、学生が入学前や卒業後などに社会体験活動を行う
猶予期間であるギャップイヤー(Gap Year)というものがありますが、
まさにそれに相当するのが、東京大学の「FLY Program」。
入学直後に1年間の特別休学期間を取得し、ボランティアや就業、
国際交流などの自主的な学外活動を行うことができます。

衆議院議員の河野太郎さんはジョージタウン大学の3年生の頃に
共産圏の国を見てみたいと思い、ポーランド中央計画統計大学に
留学するわけですが、そのときのエピソードを伺うと、
その時の経験が今も生きているんだなと感じます。

ですから、「FLY Program」を活用して、大学のキャンパスを離れ
キャンパス内では経験できない学びをするというのも
イノベーションにつながっていくのだと思います。

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<学びを社会と結び直す>
藤井総長のお話でこの言葉が特に刺さりました。
『「学びを社会と結び直す」とは、課題との向き合い方を自分の実践や
 経験から学び直すことであり、その楽しさや大切さを発見することです。』

歴史を振り返ると、日本のロケット開発の父と呼ばれた糸川英夫先生は、
中島飛行機で戦闘機の設計の経験を積んでから、東京大学で航空機体学の
助教授に就任しました。
戦後、第二工学部の施設と人員とを引き継いで設立された生産技術研究所
でスタートさせた、日本のロケット開発に関する本格的な研究は、
現在のJAXA、宇宙科学研究所へとつながっていきます。

また、1919年に岡山県倉敷の民間研究所「大原社会問題研究所」の
初代所長に就任したのは東京帝国大学経済学部教授の高野岩三郎先生で、
そのもとにすぐれた研究者が集まり、当時の労働・社会問題などの調査の発展に
重要な役割を果たしました。

これらの例のように、理系 / 文系問わず、大学での学びは大学内だけで
クローズされているのではなく、社会と繋がってるのです。

大学という研究機関は、社会に対してとても大切な役割を
担っていると思いますし、誰もがワクワク感を持ち、
のびのびと活動できる場であると思います。

受験生にとっては、「受験勉強がしんどい」と感じる
ことも多いと思いますが、大学生活を送るための
大切な準備にあたります。
ですから、今頑張れば、楽しい大学生活が待っている
と思って、共に頑張っていきましょう。

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学びの多様性

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

大学で〇〇学部と様々な学部があるように
高等学校にも、普通科とは別に、理数科や園芸科
など、様々な科があります。
ファイル 3199-1.jpg

そんな中、熊本県高森町の県立高校である
県立高森高校は今年度、「マンガ学科」を
新設し、去る4月10日に入学式が行われました。
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20230410/k10014034691000.html

マンガ学科では、地元高森町と元『週刊少年ジャンプ』編集長の
堀江信彦氏が率いる出版社「コアミックス」の全面協力の下、
本格的な漫画家育成を図るほか、漫画関連産業への就職や
上級学校への進学も目指すそうです。

記事によると、出版社「コアミックス」の堀江信彦社長は
『個性は一つではなく、多面体です。
 自分の個性に気づけるよう何事にも興味を持つことが大切です。
 勉強にも取り組んでください。
 化学や物理は『必殺技』、英語や国語は『セリフ』を考えるために
 役立ちます』

とエールを送ったそうです。

教科に対してこういう見方があるのだなぁ、なるほどなぁ
と感じました。

学校では、部活は楽しいけれど、授業はつまらない
と感じる高校生も少なくないと思います。
ただ、やらされている勉強だとつまらないのですが、
どのように捉えたら、数学や理科などの科目が
自分にとってためになるだろうかと考えることができれば
部活や体育と同じように、面白い学びとなるのではないか
と思います。

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活躍の場が広がる

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

ここ最近、ChatGPTに関するニュースが
ホットですね。

今日は「ChatGPT」を開発したアメリカのベンチャー企業
「オープンAI」のサム・アルトマンCEOが総理大臣官邸を訪れて、
岸田総理大臣と面会しました。

https://www3.nhk.or.jp/news/html/20230410/k10014034031000.html

記事によると、アルトマン氏は
『AI革命全体を推進する中心になり得る国の1つで、
 人々が創造性を持って『ChatGPT』を使っていることは
 素晴らしいと思う。日本のすぐれたエンジニアや研究者と協力し、
 日本を主要な市場の1つにしたい
』いう認識を示たそうです。

これは、人工知能について研究するエンジニアにとって
チャンスの拡大だと感じます。

八千代緑が丘校に通っている生徒の中にも
大学で情報工学を専攻し、AIを活用した
ビジネスを立ち上げたいとという将来の
ビジョンを持っている生徒がいますが、
人工知能に興味を持つ高校生は少なくないと
思いますが、そんな高校生たちにとっても
刺激的なニュースなのではないでしょうか。

ただその一方で、最近では、大学側が学生に対してChatGPTの使用
に対する注意喚起をしているなどの否定的なニュースも
よく目にします。
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20230410/k10014033671000.html

これらの一連の動向に対し、アルトマン氏は
以下のように語っているようです。
『『ChatGPT』は教育を破壊するという指摘もあるが、
 教室で禁止すべきではないと思う。
 子どもも大人も新しいツールを使用すれば、
 新しい方法で学ぶことができる。
 電卓が登場した時のようにその使い道を考えるべきだ』
と。

活用の仕方については、エンジニアだけの視点ではなく、
社会学、倫理学の視点も踏まえて考えていく必要が
あるのではないかと思います。

今までも、人工知能の利用については
例えば、自動車の自動運転における
トロッコ問題というものがありました。

トロッコ問題というのは例えば以下のようなものです。
「ブレーキが故障した乗用車が、
 歩行者5人のいる横断歩道に突っ込もうとしている。
 クルマに乗っているのは運転者だけだ。
 クルマを横断歩道の手前にある障害物にぶつけて止めれば
 歩行者5人は助かるが、車内の1人は死ぬ。
 逆に、1人を助ければ歩行者5人が犠牲になる。」

この問題を解決するためには、倫理の観点が必要となり、
文系のアプローチが必要となります。

それと同じように、ChatGPTなどの人工知能によるツール
を活用するうえで、文系の活躍も必要となります。

そのことを踏まえると、理系 / 文系、関係なく、
新しい課題があるということは、逆に言えば
活躍の場がそれだけ増えるともとれると思います。

まさに、目まぐるしい発展が続いている現代において、
一人ひとりが、どのように考え、活躍していくのかが
大事になってくると思います。

東進衛星予備校 八千代緑が丘校は大学入学前の学生の
学びの場ですが、広義の意味で成長していけるように、
生徒たちをしっかりとサポートしていきたいと思います。

(八千代緑が丘校 轟)

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