誉田進学塾高校部日記

八千代緑が丘校の轟です。

明けましておめでとうございます。
本年もよろしくお願い致します。

新年早々ですが、今回も数学ネタで
ブログを書かせて頂きたいと思います。

数学Ⅰの「図形と計量」という単元で
sin、cos、tanという三角関数について
学ぶわけですが、sin60°、を
求めよと問われたら、きっと多くの方が
考えて計算できる、あるいは覚えている
のではないかと思います。

上図の直角三角形の比より
sin60°= √3/2、cos30°= 1/2
と求まります。

また、cos15°を求めよと
言われたらどうでしょうか？

数学Ⅱの三角関数を学んでいる人は
加法定理
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
を使って
cos15°= cos(60°−45°) = cos60°・cos45°+sin60°・sin45°
= 1/2・√2/2 + √3/2・√2/2
= (√6+√2)/4
となります。

また、半角の公式を用いて求めることもできます。
cos^2(15°) = (1+cos30°)/2 = (2+√3)/4
ここで両辺の平方根をとれば求められますが、
二重根号の処理に戸惑うかもしれません。
うまく計算処理をすると、無事に
cos15°= (√6+√2)/4
と求まります。

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ここまでは有名角の値を用いて
求められるため、何とかできた
という方も多いかもしれません。

ただ、有名角ではないcos36°を求めよ
といきなり問題で出されたらいかがでしょうか？

何のヒントもなくいきなり解くとなると
戸惑う方の方が多い気がします。

実はこのネタ、前回のブログからの
続きになります。

前回のブログでは黄金比について書かせて頂きました。
そこで、黄金三角形である頂角が36度、底角が72度
である二等辺三角形の辺の比について考えたわけです。

上図のΦ = (1+√5)/2
です。

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前回のブログ：【生徒からの質問より】黄金比について
https://www.jasmec.co.jp/cgi-bin/blog-diary-open1/diary02/blog-diary-open2.cgi?no=3123
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36°の角度を含む三角形の三辺の長さの比が
わかっているため、余弦定理により
cos36°を求めることができるわけです。

cos36°= (Φ^2 + Φ^2 - 1^2) / 2Φ・Φ
= (2Φ^2 - 1) / 2Φ^2 = 1 - 1/ 2Φ^2 ……①

ここで、前回のブログより、
Φは以下の二次方程式の解となります。
Φ^2－Φ－1＝0 ……②

式②を変形すると
Φ^2 ＝ Φ+1
右辺に Φ = (1+√5)/2 を代入して
Φ^2 = (3+√5)/2……③
を得ます。

式③を式①に代入すると
cos36°= 1 - 1/ (3+√5) = (1+√5)/4

と得られるようになります。

余弦定理を用いるやり方以外に
下図のように補助線を描いて
求めることもできます。

BからACにおろした垂線の足をE とすると、
E はDCの中点となるので、
DE = (Φ-1)/2 となります。

直角三角形BEAに注目すれば
cos36°= AE / Φ
= ｛1+(Φ-1)/2｝ / Φ
= ((Φ+1)/2) / Φ
= 1/2 + 1/2Φ
= (3+√5)/2
というように求めることもできます。

このように考えると
cosの値１つ求めるにしても、
図形の知識があると便利なことがあります。

新年早々、開校の時間とともに生徒たちが
登校してきました。
　

今年も、精一杯生徒たちを応援していきたい
と思います。
今年もよろしくお願い致します。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

2022年も残すところあと1日。
年末はいかがお過ごしでしょうか？

学校から宿題がたくさん出されている学校もあり、
生徒たちを見ると、学校の課題にも頑張って
取り組んでいます。

今日は、生徒から図形の問題で質問を頂いたのですが、
今まで多く頂く質問の題材でしたので、
同じところでつまづいている高校生が多いかも
しれないと思い、ブログにしてみました。

生徒からの質問は、このような問題でした。

『頂角が36度の二等辺三角形の底辺の長さが
　１であるとき、等辺の長さを求めよ。』

「中学校の頃、相似の単元が得意で、
今でも覚えているよ」という方はいいのですが、
「中学校の頃から図形が苦手…」という方にとっては
数学Ⅰの「図形と計量」や数学Ａの「図形の性質」は
つらい単元ですよね。

この問題の解説を、簡単に書いておくと、
以下となります。

上図のように三角形ABCにおいて、
底角∠ABC の二等分線と辺CAの交点をDとすると
三角形BCDも頂角が36度の二等辺三角形となるんです。

つまり、三角形ABC∽三角形BCDという相似な
三角形が見えてくるわけなんです。

AB : BC＝BC : CD
x : 1＝1：（x－1）
x^2－x－1＝0 ……①

式①の2解のうち、正の値が求める解となり、
x ＝ (1+√5)/2
となります。

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この問題、実は『黄金比』という
有名な題材なんです。

ここで「黄金比」と聞いて、
名前だけは聞いたことがある
という方は多いかもしれません。

ただ、「黄金比って何ですか？」
と聞かれると、答えにつまってしまう
という方は多いのではないかと思います。

そこで、今日は『黄金比』について
簡単に触れたいと思います。

黄金比の定義の仕方はいろいろあるのですが、
直感的に分かりやすい長方形による定義を
今回はご紹介したいと思います。

上図において、長方形ABCDから正方形ABEF
を切り取ったものが長方形ECDFです。
長方形ABCDと長方形ECDFが相似となるのは
長方形の辺の比がどのような場合でしょうか？

AB＝CD＝1, BC＝AD＝x とおくと
長方形ABCD ∽ 長方形ECDF ですから
AB : AD＝EC : CD
1 : x＝（x－1）：1
x^2－x－1＝0 ……①

というように先に出てきた式①に帰着されます。
式①の2解のうち、正の値が求める解となり、
x ＝ (1+√5)/2
となります。

短辺と長辺の比が 1 : (1+√5)/2
となる長方形を黄金長方形（Golden rectangle）
と呼びます。
また、この比の値 1 : (1+√5)/2 を黄金比（Golden ratio）
と呼びます。

ちなみに、最初に登場した
頂角が36度、底角が72度である二等辺三角形を
黄金三角形（Golden triangle）と呼びます。

また、学校の課題や定期試験で
よく正五角形を題材にした問題が出題されます。

上図のような正五角形（pentagon）において
対角線を全て描くと五芒星（pentagram）が得られます。

ここで、１辺の長さが１の正五角形の
対角線の長さを求めてみます。

上図においてAB＝1、BE＝x とおくと
三角形ABE ∽ 三角形JEAですから
AB : BE＝JE : AE
1 : x＝（x－1）：1
x^2－x－1＝0 ……①

というように先に出てきた式①に帰着されます。
式①の2解のうち、正の値が求める解となり、
x ＝ (1+√5)/2
となります。

すなわち，正五角形では
1 辺の長さと対角線の長さの比が黄金比
となっています。

それから、

EJ＝BE－BJ＝(1+√5)/2 -1＝(1-√5)/2
であるため、
EJ : BJ＝(1-√5)/2 : 1 ＝ 1 : (1+√5)/2

よって，正五角形の2本の対角線は、
それらの交点において黄金比に内分される
ことが分かります。

ですから、よく見る頂角が36度、底角が72度
である二等辺三角形の底辺と等辺の比も
正五角形の一辺の長さと対角線の長さの比も
同じく1 : (1+√5)/2 と黄金比に
なっているわけなんですね。

あまりにも多く登場する題材ですので、
良かったらご参考にしてみて下さい。

では、良いお年をお迎えください。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

学習する際に、先に内容を理解してから
問題を解きますか？

それとも、先に問題を解こうと試み、
そして、必要なところを調べて理解しますか？

私は前者の子供の頃からずっと前者の学習スタイルを
とってきました。
なぜなら、内容を理解していないのに、
問題を解けるわけがない。
だから、先に知識をInputしようと思っていたからです。

そのため、生徒たちにも、しっかりと内容を
理解してから問題演習に取り組むことを
以前は推奨していました。

ただ、そうすると、生徒の中には、
こんな意見がありました。

「内容は理解できたつもりなのですが、
　問題を解くとなると、全然解けません。」
と。

何人かの生徒から共通してこのような意見を
聞く中で、きっと、このように感じる高校生は
少なくないと思うようになりました。

問題を解く際に、原理原則を、その問題の状況に
合わせて活用するということが、難しいのだと思います。

ただ、一方で、内容を理解せずに、
いきなり問題集に取り組み、解法を見よう見真似で
覚えて、慣れていこうとすると、
「解説を読めば理解できるけど、自力で解けない。」
というケースも多々見受けられます。

そこで、どうしたらいいか？？？

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考えた結果、「そうかっ、実際の問題を通して、
そこで必要な原理原則を学べるような教材があったらいいんだ」
と。

そこで、科目の内容を理解できていない状態で
質問を受けた際には、問題の解き方だけでなく、
その問題を解くのに必要な法則や公式を記した
オリジナルの解説を作成し、それを基に生徒に
教えることに致しました。

下の写真は、本日、質問のあった生徒に配布した
解説の一部です。

その生徒に理解度に合わせた、その生徒だけの
オンリーワンな解説書になりました。

勿論、生徒から質問があった際、
その場で即席に教えますが、今回のように
解説書を作成して渡すと、生徒が質問した後も、
何度も自分で読み返すことができます。

特に、内容理解が浅い段階ですと、
１度説明を聞いただけで、頭に定着させることは
難しいと思います。

ですから、何度も読み返す中で定着できるような
解説書の方が有効かもしれないと考えました。

今後も、生徒からの要望に応じて、今回のような
オリジナル教材を生徒たちにプレゼントしていきたいと
思いました。

校舎に通ってくれている生徒たちの日々の頑張りを
見て、どのようにサポートしたら、より生徒たちの
役に立てるだろうかと考えながら、日々生徒たちに
寄り添っていきたいと思います。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

ある受験生から、物理の質問を頂きました。

上記の抵抗とコンデンサーを直列につないだ
回路において、電源の電圧Ｖをかけると、
最終的にコンデンサーにはＣＶ[C]の電荷がたまりま。

その際、電源はＣＶ^2[J]の仕事をし、
コンデンサーには1/2・ＣＶ^2[J]のエネルギーが
たまることになります。

その差のエネルギーは1/2・ＣＶ^2[J]。

この分だけ、抵抗で消費されると考えられるわけです。

このことがイマイチ、ピンとこないというのです。

「抵抗で消費したエネルギーを
　電源のした仕事とコンデンサーに蓄えられたエネルギー
　の差を求めることで間接的に求めるのではなく、
　計算で求めることはできないのでしょうか？」

という質問でした。

いい質問ですね。

同じ疑問を持った方は他にもいらっしゃるのではないでしょうか？

この質問の答えを理解するうえで、
丁度よい問題があります。

それは2019年の中央大学 理工学部の物理の第３問。

この問題を解く中で、疑問の答えを得られると思います。
良い学びができると思いますので、
興味のある方は、是非、解いてみてください。

(八千代緑が丘校　轟)

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大網白里校の一関です。

冬休みに入りましたが、皆さんいかがお過ごしでしょうか。
クリスマス、年末年始とイベント事も続きますが、
塾生たちは毎日学習に取り組んでいます！

「受験生だけでしょ？」と思った方！
高1生、高2生も一生懸命頑張っています。
昨日、冬期講習期間のホームルームも行い、改めて冬の過ごし方
についてお伝えしました。

また、現在の高校1年生から共通テストの問題が一部追加・変更されます。その試行問題が公開されたので、概要を皆さんにお伝えしました。

そして、年明けの共通テストに向けて、受験生はもちろん、
高1生、高2生も自身の立ち位置を測る重要な機会となるため、
共通テスト同日体験受験における目標得点を伝えています。

なお「共通テスト同日体験受験」は塾生以外の方も申込ができます。知らなかった！という方はぜひ下記リンク先からお申込みください。無料で受験できる貴重な機会です。有効に活用しましょう。

塾探しなども並行して考えている！という方は
「冬期定例入塾説明会」を1月7日（土）13:00～14:15に予定しています。同日体験後、成績を踏まえて会に参加されることをお勧め
します。今後どう学習を進めるべきか、お分かりいただけると
思います。

本気で大学受験を考えるには良い時期だと思います。
まずは一歩！大網白里校まで踏み出してみませんか？
お問い合わせ、お待ちしています。
（大網白里校　一関）
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共通テストが迫ってきました。

受験生にとって、まさに正念場です。
東進コンテンツを有効活用し、積極的に頑張っています。

しかし、学習に気合が入っているのは受験生だけではありません！
高校１年生・２年生にとって、1/14(土)と15(日)は
共通テスト同日体験受験があります。

その模試に向けて頑張ろうと声を掛けています。
冬休み中に個人面談を行い、一人ずつ目標点を設定しました。
その目標を達成できるよう、受講や高速基礎マスターなど積極的に取り組んでいます。

誉田進学塾の塾生たちは、基本的に全員受験していますが、
まだご入塾していない一般生の方も受験して頂くことが可能です。

実際の共通テストを同じ日に受験できるのは東進しかありません！
この模試を機会に、現時点の学力を把握することができます！
志望校合格に向けて今後、どのような学習が必要なのかアドバイスすることも可能です！

お申込み期日は１月１２日（木）までです！

是非皆様のチャレンジを心よりお待ちしております。

(鎌取駅南口校　小山)

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今日は千題テストの最終日でした。
受験生5日間お疲れ様でした。
社会の1000問を解くということで、5日間連続で演習してきましたが、や
ってみるとあっという間だったのではないでしょうか。
短期間での基礎知識を一周できたので良かったと思います。

採点をしていてもったいないと思ったことは、
非常に惜しい誤字があったことです。
分かっているつもりがいざ書いてみると意外と書けない。
本番では１問のミスが命取りですので、書き間違いは避けたいものです。

演習後は解きっぱなしにせず間違えた所を集中的に、インプットする時間を作りましょう。
受験生は最後の最後まで成績は伸びます！社会は一番伸びるといっても過言ではありません。
直前まで粘り強く進めていきましょう。

(五井駅前校　竹内)

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こんにちは。
おゆみ野駅前校の北野です。

風が強く、非常に寒い日が続いていますね。

明日から校舎は冬期講習期間に入り、朝から開校します。
この冬の目標に向けて、ガンガン学習を進めていきましょう。
冬期講習に先んじて、今日から社会の千題テストが始まりました。
この先の共通テスト、私大入試に向けて、地歴公民の問題を千題解いて、
復習していきます。非常に大変ですが、終わった後は、達成感が得られると思います。
共通テストに向けてあと22日です。ここからできることを意識して学習に取り組みましょう。

そして1年生、2年生の皆さんにとっては同日体験受験です。
冬期講習は校舎に来て、受験生と一緒になって学習していきましょう！

ここから学習をと考えている皆さんはぜひ校舎にご連絡ください。
招待講習、同日体験受験、どんな形であれ、ご協力したいと考えています。
この冬を大事に、冬休みが終わったときに達成感のある冬にしましょう！

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(おゆみ野駅前校　北野)

こんにちは。
ユーカリが丘校教務の山﨑です。

大学入学共通テストまで残り4週間を切りました。

直前期に大事なるのが、社会科目です。暗記科目と言われる社会は

直前まで成績を伸ばすことが出来る科目なので、

特に力を入れましょう！

また、明日から千題テストがあります。

社会科目の全範囲を5日間かけて1000問解くテストです。

毎年受験生がこのテストを乗り越え、合格を勝ち取ってます。

明日から千題テスト頑張りましょう！！

(ユーカリが丘校　山﨑）

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こんにちは。
ユーカリが丘校事務の倉舘です。
毎日寒い日が続いており、冬の訪れを感じます。

大学入学共通テストまで残り24日となりました。
月日が経つのはとても早いですね。
共通テストまでの24日間を充実したものにするためには、時間の使い方がとても大切です。
受験生のみなさんはあと24日しかない…と焦らないでください。まだ24日もあります！
しっかりとやるべき事を確実に頑張っていきましょう。

そして高1生、高2生のみなさんも受験生になる日はやってきます。
受験に向けて少しずつ準備を始めていると思いますが、今のうちに一緒の場所で頑張っている先輩たちの背中をしっかりと見ておきましょう。
どんな勉強をしているのか、どのくらい集中して取り組んでいるのか、先輩達から学ぶことはたくさんあると思います。
先輩の背中を見て、頑張る力をもらって自分が受験生になったときに、同じように後輩たちにも自分の背中を見せてあげてください。
その為にも今からしっかりと将来の目標に向けて準備が必要です。
気になる大学や、将来やりたいことなど、今から少しずつ探して見つけてみましょう。

新年度に向けて準備をお考えのみなさまはぜひ一度、校舎へいらしてみてください。
どういった学習が必要なのか、塾ってどんなところ？といったお悩みもあると思います。
みなさまの気になるところ、頑張りたいけど何をすればわからないといった疑問など私たちスタッフにお気軽にご相談ください。
実際に授業の体験が出来る冬期特別招待講習も12/26（月）まで受付しております！
私たちと一緒に頑張ってみませんか？

(ユーカリが丘校　倉舘）

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