八千代緑が丘校の轟です。
明けましておめでとうございます。
本年もよろしくお願い致します。
新年早々ですが、今回も数学ネタで
ブログを書かせて頂きたいと思います。
数学Ⅰの「図形と計量」という単元で
sin、cos、tanという三角関数について
学ぶわけですが、sin60°、を
求めよと問われたら、きっと多くの方が
考えて計算できる、あるいは覚えている
のではないかと思います。
上図の直角三角形の比より
sin60°= √3/2、cos30°= 1/2
と求まります。
また、cos15°を求めよと
言われたらどうでしょうか？
数学Ⅱの三角関数を学んでいる人は
加法定理
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
を使って
cos15°= cos(60°−45°) = cos60°・cos45°+sin60°・sin45°
= 1/2・√2/2 + √3/2・√2/2
= (√6+√2)/4
となります。
また、半角の公式を用いて求めることもできます。
cos^2(15°) = (1+cos30°)/2 = (2+√3)/4
ここで両辺の平方根をとれば求められますが、
二重根号の処理に戸惑うかもしれません。
うまく計算処理をすると、無事に
cos15°= (√6+√2)/4
と求まります。
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ここまでは有名角の値を用いて
求められるため、何とかできた
という方も多いかもしれません。
ただ、有名角ではないcos36°を求めよ
といきなり問題で出されたらいかがでしょうか？
何のヒントもなくいきなり解くとなると
戸惑う方の方が多い気がします。
実はこのネタ、前回のブログからの
続きになります。
前回のブログでは黄金比について書かせて頂きました。
そこで、黄金三角形である頂角が36度、底角が72度
である二等辺三角形の辺の比について考えたわけです。
上図のΦ = (1+√5)/2
です。
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前回のブログ：【生徒からの質問より】黄金比について
https://www.jasmec.co.jp/cgi-bin/blog-diary-open1/diary02/blog-diary-open2.cgi?no=3123
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36°の角度を含む三角形の三辺の長さの比が
わかっているため、余弦定理により
cos36°を求めることができるわけです。
cos36°= (Φ^2 + Φ^2 - 1^2) / 2Φ・Φ
= (2Φ^2 - 1) / 2Φ^2 = 1 - 1/ 2Φ^2 ……①
ここで、前回のブログより、
Φは以下の二次方程式の解となります。
Φ^2－Φ－1＝0 ……②
式②を変形すると
Φ^2 ＝ Φ+1
右辺に Φ = (1+√5)/2 を代入して
Φ^2 = (3+√5)/2……③
を得ます。
式③を式①に代入すると
cos36°= 1 - 1/ (3+√5) = (1+√5)/4
と得られるようになります。
余弦定理を用いるやり方以外に
下図のように補助線を描いて
求めることもできます。
BからACにおろした垂線の足をE とすると、
E はDCの中点となるので、
DE = (Φ-1)/2 となります。
直角三角形BEAに注目すれば
cos36°= AE / Φ
= ｛1+(Φ-1)/2｝ / Φ
= ((Φ+1)/2) / Φ
= 1/2 + 1/2Φ
= (3+√5)/2
というように求めることもできます。
このように考えると
cosの値１つ求めるにしても、
図形の知識があると便利なことがあります。
新年早々、開校の時間とともに生徒たちが
登校してきました。
今年も、精一杯生徒たちを応援していきたい
と思います。
今年もよろしくお願い致します。
(八千代緑が丘校 轟)
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