誉田進学塾高校部日記

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円形コイルが軸上に作る磁束密度の導出について

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

東京大学 2025年物理第２問 Ⅲの別解をブログで
ご紹介した際に、円形コイルＣがx軸上の位置xに作る
磁束密度の大きさＢを、ビオ=サヴァールの法則を
用いて求めました。

その時のブログがこちら↓
https://www.jasmec.co.jp/cgi-bin/blog-diary-open1/diary02/blog-diary-open2.cgi?no=4923

その際、導出過程まで記載していなかったため、
今回のブログでは、その導出過程をご紹介致します。

その際に、ベクトルの外積についての知識が必要
となりますので、ご存知ない方はこちら↓の
ブログを事前にご参照ください。
https://www.jasmec.co.jp/cgi-bin/blog-diary-open1/diary02/blog-diary-open2.cgi?no=4928

ファイル 4929-1.jpg ファイル 4929-2.jpg

説明しやすいように、以下の問題を解説するという形で
導出過程をご紹介したいと思います。

*********************問題*********************
z=0の平面に置かれた原点を中心とする半径aの
円電流が、位置(0,0,z)に作る磁場の向きと大きさ
を求めよ。
**********************************************

ここから先は手書きになりますが、
ご容赦ください。

このように以前のブログに掲載した式と
形がピッタリと一致しますね。

最初は難しく感じるかもしれませんが、
高校生でも少し練習すれば、すぐに慣れると
思いますので、興味のある方は、自力で
導出できるようにしてみましょう。

ファイル 4929-4.jpg

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

(八千代緑が丘校　轟)

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ベクトルの外積について

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

ビオ=サヴァールの法則の中で、
ベクトルの外積が登場するため、
初めて知ったという方に向けて、
簡単に、ベクトルの外積について
説明させて頂きたいと思います。

2つのベクトルAとベクトルBの外積は、
次のように表されます。

ファイル 4928-1.png

外積のポイントをまとめると以下となります。
・結果はベクトルになる。
・ベクトルAとベクトルBの両方に垂直(直交)する
　ベクトルになる。
・大きさは「AとBが作る平行四辺形の面積」になる

では、図で見てみましょう。

ベクトルAとベクトルBがなす角をθとします。
この2本でできる平行四辺形を描きます。

ファイル 4928-2.png

外積A×Bは、この平行四辺形に垂直な方向に向く
ベクトルです。

ファイル 4928-3.png

つまり、面積＝底辺×高さと同じ感覚で覚えられます。

また、外積の向きは「右ねじの法則」で決まります。
右手の親指・人差し指・中指を使うと覚えやすいです。

ファイル 4928-4.png

・人差し指：ベクトルA
・中指：ベクトルB
・親指：外積A×Bの向き

つまり、AからBへ回す方向に右ねじを回すと、
ねじが進む向きが外積ベクトルの向きになります。

また、ベクトルを成分で表して計算すると、
以下となります。

ファイル 4928-5.png

ベクトルの外積は、物理においては、
「トルク」や「回転運動」の計算に登場しまし、
数学では、ある面の法線ベクトルを求める際に
活用することができるため、知っておくと便利です。

ただし、大学受験において、記述式問題でベクトルの
外積を用いるのはＮＧだと思いますので(高校数学の
教科書には掲載されていないため)、数学の試験で使用
するのは控えた方が良いかと思います。
(ただ、検算に用いたり、マーク式の問題で答えだけ問われる
問題に対しては有効です。)