こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。
前回と今回の２回に分けて
2次関数の問題の中で問題を解く工程が長く、
つまづきやすい
「2次関数のグラフとx軸の共有点の範囲の問題」
の攻略に向けてお送りいたしております。
後編の今回は
『2次関数
のグラフがx軸の負の部分において異なる2点で交わるとき、
定数mの値の範囲を求めよ。』
という問題について考えていきます。
このブログでは、考える際の視点やポイントについて
書いていきますので、細かい式変形等は
自分で手を動かしてみて下さい。
わからないところがあった際には
質問して頂ければと思います。
今回の問題のように
条件：x軸の負の部分において異なる2点で交わる
が与えられていて、その条件に合うように
文字mの値の範囲を求めるような問題に対しては
条件に合うようなグラフをまずは描いてみましょう。
すると、下図のような2次関数のグラフになります。
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ではここから、上図のようなグラフになるためには
mがどのような条件式を満たせばよいかについて
考えていきます。
今回、2次関数とx軸との交点のx座標をαとβと置きます。
(ただし、α ＜ β ……②とする。)
x軸の負で2つの交点を持つわけですから当然
(α ＜ ) β ＜ ０ ……③
が成り立ちます。
また、これも当たり前のことですが、
頂点のx座標をγと置くと
α ＜ γ ＜ β ……④
という関係になります。
式③と④より、βの存在範囲は
γ ＜ β ＜ ０ ……④
というように絞られます。
この式を言葉で表現すると
『2次関数の交点のうち、大きい方の交点は
頂点のx座標よりも大きく、０よりも小さい』
ということになります。
この式④をこれから述べるように別の視点を持って
３つの式で言い換えることができます。
ここで、式①の右辺をf(x)と置くこととします。
βがγと０の間に存在するということは
下図からわかるように
f(γ) ＜ ０ ……⑦
f(０) ＞ ０ ……⑧
が成り立ちます。
式⑦を計算すると
m ＜ －６、－１＜ m ……⑧
が得られます。
ちなみに、これは判別式Ｄ ＞ ０を
解いても、同じ結果となります。
Ｄ ＜ ０ということと、下に凸のグラフにおいて
頂点のy座標が負であるということは同じことを
意味しているためです。
また、式⑧を計算すると
m ＜ ３ ……⑨
が得られます。
上の２つの条件式(式⑧、⑨)を満たすだけでは
まだ必要十分とは言えないんですね。
なぜなら、式⑧は
x ＝ γにおけるyの値が負であるための条件
ですが、このγが負の値であることが
上の２つの条件には含まれていないためです。
ですから、
γ ＜ ０ ……⑩
という条件式も必要になります。
ちなみに、平方完成すると求まりますが
γ ＝ －m－３ ……⑪
となります。
γは頂点のx座標ですが、軸の値でもあるため
教科書や参考書にも同様の記載がありますが
『軸の位置を注目』
することもポイントの１つになります。
式⑦を計算すると
－３＜ m ……⑫
が得られます。
以上式⑧、⑨、⑫の３つを満たすmの範囲は
下図より
－１＜ m ＜ ３ ……⑬
まとめると、今回のように
2次関数のグラフとx軸の共有点の範囲の問題
を解く際には、以下の３つの条件に注目してみて下さい。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆今回のポイント☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
①頂点のy座標の符号 (式⑦)
あるいは判別式Ｄ ＞ ０
②キーとなるx座標におけるyの値の符号 (式⑧)
今回は、負、つまり０より小さいと解釈してキーとなる
x座標は０となります。
③軸の位置 (式⑩)
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
少し参考になれば幸いです。
次回の定期試験も頑張って下さい！！
(八千代緑が丘校 轟)
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