こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。
3学期制の高校では、来週あたりから定期試験が
始まるところが多いと思います。
八千代緑が丘校に通っている生徒たちも
直前に控えた定期試験に向けて、日々頑張って
学習に取り組んでいます。
今後の定期試験で2次関数が試験範囲に入っている
高校もあると思います。
2次関数の単元の後半の部分は難しく苦労される高校生も
多いと思います。
そこで、今回は、2次関数の問題の中で
問題を解く工程が長く、つまづきやすい
「2次関数のグラフとx軸の共有点の範囲の問題」
の攻略に向けて、ブログを書きたいと思います。
例えば、このような問題です。
『2次関数
のグラフがx軸の負の部分において異なる2点で交わるとき、
定数mの値の範囲を求めよ。』
この類の問題は、必ず学校で配られる教科書傍用問題集にも
登場しますね。
この類の問題を攻略するための『視点』について
今回と次回の２回に渡ってお伝えしたいと思います。
では、「2次関数のグラフとx軸の共有点の範囲の問題」
を考える前にまずは「1次関数のグラフとx軸の共有点の範囲の問題」
について考えてみましょう。
(おそらく、このような問題は見たことがないかもしれないですね。)
『1次関数：y=2x+m ……①
のグラフがx軸の負の部分で交わるとき、
定数mの値の範囲を求めよ。』
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今回の問題のように
条件：x軸の負の部分で交わる
が与えられていて、その条件に合うように
文字mの値の範囲を求めるような問題に対しては
条件に合うようなグラフをまずは描いてみましょう。
描いてみると、以下のようなグラフになります。
では、上図のように、1次関数のグラフがx軸の負の部分で交わる
ためには、この1次関数に対して、どのような数学的な
条件式を与えると良いでしょうか？
この1次関数のグラフとx軸との交点のx座標をx=αと置いてみましょう。
当たり前のことですが、αの値は0よりも小さくなります。
α < 0 ……②
ちなみに、数学の問題を解く際、あまりにも当たり前のことでも
それを数式で表してみるということはとても大切です。
今回は1次関数ですから、式①のx軸との交点を
α=-m/2 ……③
と求めて、式②、③から
-m/2 < 0
∴ m > 0 ……④
と考えても良いのですが、2次関数のx軸の共有点の範囲の問題の解き方
につなげていきたいので、今回は別の視点で考えてみたいと思います。
実は、このグラフがx=0のときにyの値が正になっていれば
1次関数のグラフがx軸の負の部分で交わります。
このことを数式で表すために、
f(x)=y=2x+m ……⑤
と置くと、以下のように表すことができます。
f(0) > 0 ……⑥
式⑥を解くと、式④と同じく
m > 0 ……⑦
が得られます。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆今回のポイント☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
このグラフがx=0のときにyの値が正になっていれば
1次関数のグラフがx軸の負の部分で交わる。
それを数式で
f(0) > 0
と表すことができる。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
次回のブログでは、2次関数に拡張して
「2次関数のグラフとx軸の共有点の範囲の問題」
について書きたいと思います。
(八千代緑が丘校 轟)
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