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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。
三角関数が直近の定期試験範囲という生徒から
「三角関数のグラフが描けない」
という質問を頂きました。
これは、毎年定番中の定番の質問です。
質問されたことのない年ってあったっけ？
ぐらいの超頻出のつまづきポイントだと思います。
そこで、三角関数のグラフを理解して、
あとは練習すれば描けるようになることを
目的として、何回かに分けて、ジワジワっと
三角関数のグラフについて書いていきたいと思います。
そもそも、三角関数は、名前に関数がつくだけあって
関数の１つですが、今まで習った関数とは何だか
異なった趣きがあるあるからこそ、難しく感じるのではないか
と思います。
三角関数が苦手という生徒に
「三角関数の定理って何？」
と聞くと、ほとんどの生徒が
「え～とっ…」と言って、直角三角形を
描き始めます。
確かに、三角比で習いましたね。
ただ、それだと0≦θ≦π/2の範囲までしか
考えられなくなってしまいます。
範囲を0≦θ＜2πの範囲に広げようとすると、
以下の定理をぜひ覚えておいて頂きたいと思います。
＜三角関数の定理＞
xy平面上、原点を中心とする半径rの円Ｃ上に任意の
点Ｐ(x,y)に対し、
x=r*cosθ、y=r*sinθ (0≦θ＜2π)
となる実数θがただ１つ存在する。
半径r=1の場合は下図のようになります。
ですから、円周上を点がくるくると回転する際の
yの値を縦軸に、θの値を横軸に描くことで
下図のようにx=sinθのグラフを描けます。
そして、x=cosθのグラフにおいては、
xの値を縦軸に、θの値を横軸に描くことで
下図のようになります。
「三角関数の定理をすっかり忘れていた」
という方の中にも、上の２つのグラフは
教科書で見たのを覚えていた人は多かったかも
しれません。
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ただ、グラフを描く際に困るのはきっと以下の場合ですよね？
y=2sin(2θ-1/3π)
のように、sin関数の前に係数が付いていたり、
三角関数の中が、単なるθではなく、2θといったように
θに係数が付いたり、-1/3πといったように余計な
ものがいたり…。
そんな方も大丈夫！！
「もう三角関数のグラフは怖くない」
となるように、第２回以降も続けて
書いていきたいと思います。
さて、ここから少し、三角関数が、今まで習った
一次関数や二次関数などとは異なる特徴について
確認しておきましょう。
三角関数について習うと周期という言葉が出てきますね。
三角関数の特徴は周期性があるということです。
下図のにょろっとした曲線を前後に無限にコピペしていくと
三角関数になります。
１周するのにθの期間が周期となります。
三角関数には周期性があるところが、
三角関数に関する問題を難しくしているのではないかと
思います。
例えば、
2x+1=3
といった1次方程式や
x^2+3x+2=0
といった2次方程式を解くことは
高校生となった今は難しくないと思います。
ただ、sinθ=1/2 (ただし、0≦θ＜2π)
を解く際に、慣れていないうちは、
「θ=π/3」と答えてしまうかもしれないですね。
いやいや、もう１つあります。
正しくは「θ=π/3、2π/3」の2つですね。
また、θの範囲を0≦θ＜4πまで広げると、
「θ=π/3、2π/3、7π/3、8π/3」と解が4つあります。
このように、三角関数に周期性が、三角関数の問題を
少し複雑にしますが、それ以外は1次関数や2次関数と
同じように考えることで、三角関数のグラフを
描けるようになります。
第２回では、y=sinθを基に、y=2sinθやy=3sinθ
のように、sinθの前に係数がついているタイプの
三角関数のグラフについて書こうと思います。
(八千代緑が丘校 轟)
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