誉田進学塾高校部日記

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

私も、まだ実際にこの目で問題を確認できて
いないのですが、どうやら、筑波大学 医学部の推薦入試で
ロピタルの定理の使用を禁止する問題が出題されたらしいです。

問題文にはっきりと
「ただし、ロピタルの定理を使ってはいけない。」
と書いてあったそうです。

しかも、無理に使おうと思えば使えるけれど、
あまり、使い用のない問題だったそうです。

それを聞くと、ますます、問題を確認したくなります。
どのたか、問題を入手された方がいらっしゃれば、
ぜひ、八千代緑が丘校までご一報ください(笑)

さて、ロピタルの定理は
「受験では使ってはいけない，裏ワザ」
と言われていますが、結論からいいますと，
ロピタルの定理を受験で使っても構わないと思います。
ただし、以下の 2 点に注意する必要があります。

1．ロピタルの定理の条件をチェックする。
2．循環論法にならないようにする。

ロピタルの定理を使ってはいけないという主張がなされる原因は
上に挙げた 2 つの注意点を守れる人が少ないからだと思います。

この 2 つについて解説したいと思います。

＜ロピタルの定理の正確な内容＞
まずは 1 つ目の注意点であるロピタルの定理の条件のチェック
についてです。
これはロピタルの定理の正確な内容は以下の通りです。

(2) の条件はいわゆる不定形になっているという条件です。
0/0 の形の不定形であるというふうにしていますが、
∞/∞ の形になっていても大丈夫です。

(1) の条件にある「（適当な）開区間」というのは、
a を含む開区間を自分で設定するという意味です。

この「（適当な）開区間」は (3) の条件を満たすようには
設定しなければなりません。

高校数学で使うほとんどの関数は定義域内で微分可能ですので、
注意するべきは (3) の条件ということになります。

具体例で検証してみましょう。

条件の (1) から (4) が満たされていることをチェックした上で
ロピタルの定理を使用しています。
(3) の条件に合致するように開区間を自分で設定しているところに
注目してください。

高校数学の範囲内で普通に解いてみると、

となるのでもちろん結果は一致します。

ロピタルの定理は lim の先が ∞ でも使うことができます。

∞ バージョンでもやはり (3) のチェックがネックになります。
分母に三角関数が入っているときは特に慎重さが必要です。

いずれのバージョンにしても、ロピタルの定理の結論だけを
使用することはできません。
4つの条件のチェックを行った上で使用しなければならないのです。

では、続きは後編に記載致します。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校　事務の牛尾です。

最近は天気が崩れていましたが、今日は久々のいいお天気。
気温の変化で風邪を引かない様に、十分気を付けていきましょう。

さて。もう間もなく新学期がスタートしますね。
みなさん。新学年の目標は決めていますか？

なんとなく「頑張る！」というよりも、
「○○を頑張りたい！」と、目標を明確に定めたほうが
張り合いが出ると思いますし、達成感も感じられると思います。
　
受験生の皆さんは、「第一志望校に合格するために日々頑張る！」
という熱意も、目標の一つになると思います。
皆さんが決めた目標を達成できるように、
１日１日を大切に、頑張っていきましょうね(^^)/
(八千代緑が丘校　牛尾）
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おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。

段々と春休みも、残りわずかになってきました。

午前中に登校し、夜遅くまで学習に励んでいる
生徒もいて、よく頑張っているなと感心しながら
日々、生徒たちのことをみています。

そんな生徒たちを見ていて、私自身が高校３年生に
なる直前頃、どんな風に過ごしていたかなと
思い返してみました。

そういえば、当時、そうとう苦労しながら
考え込んだ問題があったことを思い出しました。

それは、Jensenの不等式の証明です。

Jensenの不等式とは、↓のような不等式です。

数学的帰納法を使って証明するという方針で
n=2のときに成り立つことはすぐにわかったのですが、
次のステップ(n=kのときに成り立つと仮定した際に
n=k+1でも成り立つことを示す)ところがうまくいかず、
かなり考え込みました。

平日の夜から考え始めて、でも、なかなか解けないので、
粘って考えていると、気が付いたときには、
もう外が明るくなっているっていう…。

「やべ、早く支度して学校に行かないと…」
ということで、夜通し取り組んでしまいました(笑)
(スマホゲームにはまって、朝までプレイしてしまうのと
同じ感じですね…。)

そして、学校の授業そっちのけで考え続けた結果、
ふと、解決に至る考えを思いつくことができたという
めでたし、めでたしで終えることができました。

「あっ、これでいけるかも！」
と思ったあの瞬間、爽快でした。

さて、現代の高校生は、どうでしょうか？
「あっさり解けました」という高校生がいたら
凄いと思います。

Jensenの不等式を証明するためには、
数学Ⅲの微分・積分の学習が一通り終えている必要が
ありますが、力試しにやってみようかなぁと思った方は
是非トライしてみてください。

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

(八千代緑が丘校　轟)

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こんばんは。
八千代緑が丘校の轟です。

英国の教育データ機関「タイムズ・ハイヤー・エデュケーション」
（以下「THE」）2年ぶりに「THE 日本大学ランキング2025」
を発表しました。

ランキング指標は
「教育リソース」「教育充実度」「教育成果」「国際性」の
4分野で構成されています。

一般的な国内の大学ランキングは、主に入学時の学力（合格基準）
が軸になっていますが、THEのランキングは学生の学びの質や成長性に
焦点を当てたものとなっています。

THE 日本大学ランキング2025【総合順位】を20位まで抜粋すると
以下でした。

第１位：東北大学
第２位：東京工業大学
第３位：東京大学
第４位：京都大学
第５位：九州大学
第６位：大阪大学
第７位：名古屋大学
第８位：北海道大学
第９位：筑波大学
第10位：国際教養大学
第11位：国際基督教大学
第12位：慶應義塾大学
第13位：広島大学
第14位：早稲田大学
第15位：神戸大学
第16位：千葉大学
第17位：一橋大学
第18位：東京医科歯科大学
第19位：金沢大学
第20位：岡山大学

分野別順位は以下でした。

志望校を選ぶ際に、参考になるかもしれませんね。

(八千代緑が丘校　轟)

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おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。

昨日のブログで、早稲田大学で2005年に出題された
気体の噴出の問題についてご紹介致しました。

実際に取り組んでみたＡくんから、
問題文を見て、『？？？』に感じた部分があったと
質問を頂きました。

問題文の中の、以下の記載のところで、
「何を言っているんだろう？」
と疑問に感じた様です。

Ａくんの気持ち、よくわかります。
なぜなら、高校の物理では、上記の内容は
扱わないからです。

ちなみに、問題を解く際に、実際に使用する式は
一番上の式になります。
つまり、速度の平均の式を用いることになります。

ですので、きっと当時、試験を受けた受験生たちも
一瞬、頭の中が『？？？』になった方もいると思います。

ですが、実際の試験会場では、
『自分の知らない物理の世界があるんだな』
ぐらいにとらえて、与えられた式を必要に応じて
活用するようにしましょう。

さて、先に挙げた早稲田大学の入試問題の中で
与えられた式は、速度の平均に関する式が、
厳密な形で与えられています。

ちなみに、大阪市立大学の問題では、問題文中に
このような記載がありました。

つまり、早稲田大学と大阪市立大学では、
速度の平均の仕方が異なっているんです。

つまり、大阪市立大学では、速度の二条平均を
速度の平均値と近似して解かせているんですね。

ただ、数学Bの『統計的な推測』を学習している方なら
気が付いて欲しいのですが、
『速度平均 ≠ 速度の二条平均を1/2条』
という式は成り立ちません！

この点については、高校生でも気が付いて頂きたいな
と思います。

さて、前置きがだいぶ長くなりましたが、
せっかくＡくんが疑問を持って質問をしてくれたので、
今回は、速度の平均値には、色々な表現があることを
ご紹介したいと思います。

熱力学的平衡状態において、気体の分子の速さは
マクスウェル=ボルツマン分布と呼ばれる分布関数に
従います。

詳細は、大学で学んで頂くとして、今回は雰囲気だけ
味わって頂ければと思います。

分布図は以下のようになります。

↑の図で、グラフが一番高い値になるときの速さは
最大確率速度(moat probable speed)と呼び、
一般的にVmpと表現します。

また、速度の２条平均速度(root mean square speed)は
一般的にVrmsとと表現します。

では、VmpとVrms、そして、早稲田の入試問題で掲載されていた
速度の平均値をまとめて書くと、以下となります。

というわけで、本日は、速度の平均にも、
色々な種類があるということをご紹介させて頂きました。

イマイチ、よくわからないという高校生が大半だと
思いますので、大学でマクスウェル=ボルツマン分布
について学ぶ日を楽しみにしていてください。

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今回は面白い記事を見つけましたので、
そのご紹介をさせて頂きたいと思います。

受験や進路・進学情報の教育ニュースを発信している
『リセマム』さんが↓のタイトルの記事を掲載
されていました。

『圧巻の難関大現役合格者数…講師陣とAI活用が支える東進の強さ』
https://resemom.jp/article/2025/04/02/81477.html

全国から選りすぐった実力講師陣と
東進の学習コンテンツの大きな柱となっているAI演習講座
の両輪により、高い合格実績を打ち出しているといった趣旨の
ことが掲載されています。

現在、塾/予備校選びで迷ってらっしゃる方は、
参考になるかもしれません。

(八千代緑が丘校　轟)

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おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。

物理の熱力学分を学習中のＡくんから
「気体分子運動論で、何か面白い問題は
　ありませんか？」
とお問い合わせを頂きました。

以前も同じお問い合わせを頂いたので、
そのときは、岐阜大学の2021年の第２問を
お薦めしました。

岐阜大学の2021年の第２問は、ユニークでは
ありますが、ありがちと言えばありがちな問題
でしたが、今は春休みなので、せっかくならばと
思い、ちょっと珍しい問題を紹介しました。

『気体の噴出』をテーマにした問題です。

箱に小さな穴が空いていて、そこから気体が
吹き出す現象を扱うと問題とざっくり思って
頂ければと思います。

そのような問題は、
大阪市立大学の2017年の第３問と
早稲田大学 理工学部の2005年の第１問
の２題しか私の記憶にはないです。
(もし、他に知ってらっしゃる方がいれば、
教えてください。)

大阪市立大学の問題はこんな感じです↓

題材がレアですが、素直な問題なので、
誘導に載って考えると、特に問題なく
解けると思います。

ですので、珍しい問題を解いてみたいという
受験生の方は、よかったらトライしてみてください。

問題は、東進の過去問データベース↓で
閲覧することができます。
https://www.toshin-kakomon.com/

早稲田大学の問題はこんな感じです↓

大阪市立大学の問題と比べると、
少し難しく感じるかもしれませんが、
解いてみると、大したことはないので、
こちらも、合わせて解いてみると
新鮮さを味わえるかもしれません。

両方の問題を解き比べると、誘導の仕方が
異なるため、両方解いてみると、
『こんなアプローチがあるんだぁ』と
お楽しみ頂けるのではないかと思います。

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

(八千代緑が丘校　轟)

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おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。

東大同日体験受験を受けた新高校３年生のＡくんは、
最近、数学の見直しを終え、物理の見直しを始めました。

そんなＡくんから、昨日、第１問 Ⅰ(２)について
質問を頂きました。

問題を見たことのない方にも、どのような問題が
わかるように、問題を簡単にご説明致します。

↑の図のように、Ａ～Ｃの３つのおもりがあり、
質量はいずれもm[kg]です。

また、おもりＡは今回、床に固定されています。

この状況において、おもりＣに床に水平な方向に
力Ｆをかけると、おもりＢは持ち上がり、
力Ｆをかけ続けると、おもりＣが床に着地するように
倒れます。

その際に、この力Ｆが物体に与える仕事の最小値を
求めよという問題です。

最小値と言うのは、おもりＢ、Ｃが運動エネルギーを
生じず、位置エネルギーのみ変化しながら、
ゆっくりと力Ｆを加えることを想定します。

ほとんどの受験生は、エネルギー収支で
答えを求めたと思います。

つまり、
『力Ｆのした仕事＝２つの重りの位置エネルギーの変化』
の式を立てて、間接的に力Ｆのした仕事を求めたと思います。

東進の解答速報にも、そのような解き方が掲載されていました。

ここから本題に入ります。

Ａくんの質問は
『この仕事って、仕事の定義から求めることもできるんですか？』
というものでした。

仕事の定義から求めるとは、∫F dxの計算をして求める
ということです。

勿論、その質問に対しる回答は『YES』です。

簡単な積分計算から求めることができるため、
Ａくんに「やってごやんよ！」と言って
トライしてもらいました。

ただ、置換積分が必要なので、その発想が
なかなか思いつけずに詰まっていました。

少し余談ですが、力学において、力のする仕事を
求める際、現役生は仕事の定義から求めようとする傾向があり、
浪人生はエネルギー収支から求める傾向があるように感じています。

なぜなら、電磁気学の分野において、仕事を求める際、
力が未知なので、どうしても仕事の定義から力のした仕事
を求めることができず、エネルギー収支で求めざるおえない
問題が多いため、それに慣れている浪人生は、力学の問題においても
エネルギー収支で力のした仕事を求めようとします。

一方、現役生は、特に今の時期は、まだ電磁気学に慣れていないため、
力の定義に従って仕事を求める問題の方が解き慣れている分、
そのように解く傾向があります。

さて、話をもとに戻して…。

Ａくんと同じ疑問を持つ方がいらっしゃると思いますので、
第１問 Ⅰ(２)を、仕事の定義に従って解を得る解き方を
以下にご紹介致します。
(手書きで、読みづらいかと思いますが、ご容赦ください。)

試験当日であれば、エネルギー収支で求めた方が
時間短縮になり、簡単に解を求められますが、
普段の学習の段階では、上記のように、
仕事の定義に従って、仕事を求めることも
やってみてください。

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

(八千代緑が丘校　轟)

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おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。

入試問題を解けるようになるために必要なこととして、
各単元の基礎をしっかりと頭に入れていることを前提として、
様々な問題を解いて経験値を積むことが大切です。

例えば、その一例だなと感じる問題は
2021年に東京大学 理系数学で出題された
第２問の複素数平面の問題です。

問題はこちら↓

(１)と(２)の途中までは、単なる作業問題なので、
一通り複素数平面を学習した新高校３年生でも、
そこまでは解き進めることができるのではないか
と思います。

(２)を解いていくと、途中で
f(2)＝x+iy (x,y ∈ℝ)
とおくと、x,yは以下の式で表すことができます。

α、β、γはいずれも1以上2以下の実数ですが、
↑の式で表されたx,yをxy平面上で描くことは
このような問題を解いたことがないと、
高校生にとって解くのが厳しく感じると思います。

このブログを読んで下さっている高校生の皆さん、
スラスラとxy平面上に図示できますか？

『う～ん』と悩んでしまう高校生が大半だと思いますので、
かる～く解説させて頂きたいと思います。

図示しようとした際に、困るのが、変数がα、β、γと
３つあることですよね？

そのような場合、↑の式の青い線で引いた箇所は一旦固定して、
赤い線で引いた部分の範囲だけまずは図示することを
考えます。

この際に、『斜交座標系』の概念が定着しているか否かで
描けるか否かが分かれると思います。

詳細は手持ちの参考書等で調べて頂くとして、
簡単にご紹介すると↓です。

斜交座標系の考え方を用いて、↑の(x,y)を
xy座標平面上に図示すると以下の流れで解を
得ることができます。

変数が複数あるときは、まずは1つの変数を固定して、
その後に、固定した変数も移動させる考え方は
定石ですが、今回のように変数が3つ出てきてしまうと
ビックリしてしまいますよね。

変数が3つ出てきた際には、↑でご紹介したように、
平面ベクトルをまずは考えて、斜交座標系の考え方を
取り入れて図示し、更に、もう一つの変数を動かす
という考え方を覚えておいて頂くと良いかなと思います。

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

(八千代緑が丘校　轟）

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おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。

以前、今年の東京大学 理系数学と物理の
問題を解いて、ブログで好評を書かせて頂きました。

ただ、まだ、私の解いた解法と、他の方の解法を
比較していなかったため、今更ではありますが、
東進の解答速報では、どのような解法が
掲載されているかなと気になり、
確認してみました。

どの先生が解答速報を作成されたのかは
わからないのですが、
「この問題は概ね解き方が一緒だなぁ」という
問題や、「なるほど、こうやって解いたのね～」
と思う問題がありました。
(それは必然的ですが…。)

ただ、気になったのは第６問の複素平面の問題。
問題はこちら↓。

(１)と(２)はいいとして、(３)で掲載されている
解法は、勿論、正しいのですが、
「なんで、こんな、手間のかかる解法を
　掲載しているんだろう!?」
と思ってしまいました。

東大同日体験受験を受験した新高校３年生の
答案を見ると、私が確認した範囲では、
塾生の中で第６問を完答できた生徒はいませんでした。

ですから、おそらく既に東進の解答速報を通して
復習したと思いますが、あの解法では復習しづらく
なかったですか？

あまりにも、掲載されている答案は微妙だなぁと
思ったので、今回、ブログで別解をご紹介したいと
思います。

私は、(３)は極方程式を活用して解きました。

極方程式を活用すると、詳細は省きますが、
(２)で求めた放物線上の点を
以下のように表現できますね。

更に

という感じで、1/γの実部の最大値と最小値を
簡単に求めることができます。

解答を詳細には書いていませんが、
↑を参考にして、気が向いたら、
自分なりに答案を作ってみて下さい。

(３)を、東進の解答速報のように、
γ＝x+yi(x,y∈ℝ、iは虚数単位)とおくのは
新高校３年生にとっては、その方が発想しやすいかも
しれませんが、それにしても、その後の処理の仕方も
イマイチというか、もっととっつきやすい処理の仕方が
あるのになぁと私は思ってしまいました。

ちなみに、数学の先生や、数学についての知識が多い
大人の方だと、(３)の問題を見ると、ニヤニヤしながら
解いていそうです(笑)

なぜかと言うと、極を焦点に持つような放物線を
反転すると、カージオイドになります。

ですから、(３)は、『1/γがカージオイドの周および内部を動くとき、
x座標の最小値と最大値を求めよ』という問題と同値なんですね。

ですから、カージオイドの式において、θ＝2π/3の時に最小値、
θ＝0のときに最大値をとることにすぐに気が付いてしまうので、
瞬殺問題となります。

でも、こんなこと、高校生は知らないですよね!?
(知っている高校生がいたら、よく学習していると感心します。)

というわけで、今年の東京大学 理系数学の題６問は
2024年、2023年の第６問と比較すると、随分と解きやすい
問題が配置されていたので、今年、受験された方は
最後に少し安心して取り組めたのではないかと思います。

では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪

（八千代緑が丘校　轟)

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