誉田進学塾高校部日記

こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今回は特性方程式について見ていきます。

では、こんな問いについて考えることから
始めていきます。

このことを踏まえると、次の手順を踏むと、
一般項を求めることができるのです。

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ではここで、実際にこのやり方で１問解いてみます。

このように、特性方程式を活用して解く方が
第４回のような解き方をするよりも、
てっとり早いとは思います。

ただし、今後の他の型の漸化式を解いていくうえで
与えられた漸化式を以下の型に式変形すれば解ける
ということを理解して頭の中に留めておいて頂きたいと
思います。

第５回はここまで。
今日もお疲れ様でした。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今回は、

という型の漸化式を扱っていきます。

では早速、問題を見てみましょう。
次のように定義される数列の一般項を求めよ。

大事なことは、第３回で述べたように、
a(n+1)とa(n)の係数が一致しない場合は、
漸化式を以下のような等比数列の型の式に
変形できるということです。

f(n+1) = r × f(n) ……(※)

ここで考えるべきことは、今回の問題の漸化式は
具体的にどのような式(※)の型になるか
ということです。

結論を書くと以下となります。

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上記のことを意識して、今回の問題の解答を書くと
以下となります。

この解法を見て頂いて、
「あれっ、特性方程式が出てこないの？」
と思った方もいると思います。

実は、上記のαの値を求める式が特性方程式なのです。

公式のように特性方程式を覚えて、問題の解き方を
覚えている方が多いと思いますが、特性方程式という言葉を
知らなくても、それを使った解法を知らなくても
上記のように考えれば、問題なく漸化式の問題を
解くことができるわけなんです。

では、次回は特性方程式を用いた解法について
見ていきたいと思います。

第４回はここまで。
今日もお疲れ様でした。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

a(n+1)とa(n)の係数が一致しない場合は、
漸化式を以下のような、等比数列の型の式に
変形できる。

f(n+1) = r × f(n) ……(※)

このような型に式変形できれば、
一般項a(n)を求めることができる。

では早速、問題を見てみましょう。
次のように定義される数列の一般項を求めよ。

すでに、式(※)の形に式変形されているため、
以下のように、機械的な作業で求められる。

漸化式の問題において、与えられた式を
式(※)の型に変形できれば、
本問のように計算処理をして、一般項を
求めることができるのである。

第３回はここまで。
今日もお疲れ様でした。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今回は、

という型の漸化式を扱っていきます。

では早速、問題を見てみましょう。
次のように定義される数列の一般項を求めよ。

これは等差数列と同じ型になっていることに気が付きますか？

前の項にf(n)を足すと次の項になっていますね。
ただ、等差数列と異なるのは、前の項と次の項の差が
等差dではなく、nによって変化するf(n)になっているという点です。

見方を変えると、階差数列がf(n)になっているわけです。

よって、このような漸化式を解く際には、
一般的に以下のように解きます。

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では、上の問題の解答を以下に記載します。

第２回はここまで。
今日もお疲れ様でした。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

生徒から「参考書を読んでも漸化式がよくわからない」
という声がありました。
他にも漸化式が苦手という人は少なくないと思いますが、
「わからない」って嫌ですよね。

そこで、今日から、何回かにわたって、
漸化式を克服したいと思っている方に向けて
漸化式の問題の解き方について解説していきたいと
思います。

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漸化式の問題を解く際に、このことを頭に入れておいて
頂きたいと思います。

漸化式で定義された数列の一般項を求め方の基本は、
与えられた漸化式を適当に変形して、下の(1)または(2)
の型に帰着させることなんです。

(1)の型であれば、dを足すことで次の項になるため、
等差数列であることがわかります。

そして、(2)の型であれば、rをかけることで
次の項になるため等比数列であることがわかります。

考え方はいたってシンプルなのですが、与えられた漸化式を
上の原型に式変形するのが難しいのだと思います。

参考書では、「こういうパターンのときは特性方程式を使うんだよ」
など、様々なバリエーションがあり、把握して覚えるのが大変と
感じる人が多いと思います。

勿論、巷の参考書の通り、解法を覚えて解けば、
答えにたどり着けますから、その通りやって頂いて良いのですが、
ただ、それができないから現在苦手なのではないでしょうか？

そこで、今回のシリーズでは、どんな漸化式でも、先に述べた原型に
式変形すれば解けるということを意識して頂きながら
「そう考えれば解けるのね。案外難しくないじゃん。」
と思って頂けるように書いていきます。

巷の参考書に掲載している解き方についても
合わせて掲載していきたいと思います。

では、第１回はここまで。
次回から、具体的な問題を通して、解き方について
解説していきたいと思います。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

突然ですが、以下の式を見て、
何のことかピンと来ますか？

conα＋conβ = 2cos{(α－β)/2}・cos{(α＋β)/2}
sinα ＋ sinβ = 2cos{(α－β)/2}・ sin{(α＋β)/2}

これらは、三角関数の和積変換公式です。
数学Ⅱの教科書だと発展的内容のところに
掲載されていますが、、数学Ⅲの三角関数の積分で
登場しよく使用する公式です。

和積変換公式は加法定理を組み合わせて
割と簡単に導出することはできるのですが、
テストで毎回導出するには、少々面倒に感じますよね。

かといって、暗記しようとするとごちゃごちゃになり、
結局、テスト中に急いでいる中、時間を割いて導出する
ことになるというケースは少なくないのではないかと思います。

そこで、今回は加法定理を組み合わせるよりも
もっと簡単に三角関数の和積変換公式を導出する方法を
紹介したいと思います。

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まずは、単位円上に点Aと点Bがあるとします。
また、点Cを四角形OABCが平行四辺形になるように
とります。

上図のように∠AOX=α、∠BOX=βと置くと、
点Aと点Bの座標は以下のように表せます。
A(conα,sinα)、B(conβ,sinβ)

すると、ベクトルの和の考え方で点Cは
以下のように表すことができます。
C(conα＋conβ,sinα＋sinβ) ……①

ところで、点Cは別の表し方もできます。

ではここで、∠COXをαとβを使って表そうと
すると、どのように表すことができるでしょうか？

まず、四角形OABCがひし形であるため、
線分OCは∠AOBの二等分線になります。
よって、∠AOCおよび∠COBをαとβを使って表すと、
∠AOC = ∠COB = (α－β)/2 ……②
となります。

∠OOX = ∠COB＋∠BOX
= (α－β)/2＋β
= (α＋β)/2 ……③
と表すことができます。

よって、線分OCの長さをAと置くと、
点Cは式③を考慮して
C(Acos{(α＋β)/2},Asin{(α＋β)/2}) ……③
と表すことができます。

では、線分OCの長さであるAを
αとβを使って表そうとすると、
どのように表すことができるでしょうか？

線分OCと線分ABは直角に交わります。
交点を点Dと置くと、式②を考慮して
OD = OA × cos{(α－β)/2}
となります。

点Aは単位円上の点ですから
OA = 1 であることを考慮すると
OD = cos{(α－β)/2}
です。

また、
点Dは線分COの中点ですから
OC = 2 × OD = 2cos{(α－β)/2} ……⑤
となります。

以上、式③と式⑤より、点Cは
C(2cos{(α－β)/2}・cos{(α＋β)/2},2cos{(α－β)/2}・sin{(α＋β)/2})
……⑥
と表すことができます。

式①と式⑤は同じ点Cの座標を表現したものであるため、
conα＋conβ = 2cos{(α－β)/2}・cos{(α＋β)/2}
sinα ＋ sinβ = 2cos{(α－β)/2}・ sin{(α＋β)/2}
となるわけです。

一度理解してしまえば、視覚的考えられるため、
頭の中で平行四辺形を描いてパッと導出できるのでは
ないかと思います。

もしよかったら試してみて下さい。

(八千代緑が丘校　轟)

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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。

今日から、全国統一高校生テストの
申込受付が始まりました。

対象：高３生、高２生、高１生、高０生
　　　(高０生：高校生レベルの学力を持った中学生)
日程：６月１１日(日)
費用：無料招待

＜全国統一高校生テストとは＞
「独立自尊の社会・世界に貢献する人財を育成する」
という教育目標を掲げる東進が、
住んでいる地域や経済的な事情に関係なく、
すべての高校生に学力向上の機会を広く提供するため、
「全国統一高校生テスト」を年に２回実施し、
いずれも無料で無料でご招待している模擬試験のことです。

＜試験の内容＞
全国統一高校生テストは実際の大学入学共通テストと
同じレベル・出題形式の本番さながらの模擬試験です。

さらに統一実施日に試験会場での厳正実施により
学力を正確に測ります。
本番の難易度や科目・分野ごとの得意不得意を知ることで、
最終目標を見据えた学習が可能になります。

＜受験部門＞
全学年統一部門・高２生部門・高１生部門の
３部門で実施致します。

【全学年統一部門】
大学入学共通テスト本番と同じレベルの問題を出題します。
来年１月の「大学入学共通テスト」の予行演習として、
現在の基礎学力の総点検ができます。

【高２生部門・高１生部門】
各学年の新課程の履修範囲に沿って大学入学共通テストに
対応した問題を出題します。
大学入学共通テストの問題形式を早期に体験できます。

本日早速、高校１年生だけでも３名の方から
お申込みがありました。
お申込み、ありがとうございます。

全国統一高校生テストは例えると運動会。
知識・思考力の競技のようなイベントです。
ぜひ、みんなで盛り上がっていきましょう。

皆様からのお申込み、心よりお待ちしております。

(八千代緑が丘校　轟)

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八千代緑が丘校の轟です。

『授業はしっかりと聞いて理解しているけれど
　なぜか成績が上がらない』

皆さん、こんなことを感じたことは
ありませんか？

原因として、ざっと以下３点が挙げられます。
①授業の受け方が受け身になっている
②復習や授業内容の暗記が不十分
③授業後の自主的な問題演習が不十分
　(授業を受けっぱなしの状態になっている)

①授業の受け方が受け身になっている
特に映像授業の場合、聞き逃したら映像を戻す
ことができるため、緊張感や集中力が欠いた状態
だったり、受け身の状態で映像を再生してしまう
ということがありがちです。

ではここで、自分の普段使っているテキストや
ノートを見てみて下さい。

先生がテキストに傾向ペンを引くように指示をした
ところに線が引いてあったり、板書はノートに漏れなく
しっかりととる。

ここまでは、多くの方ができていると思います。
しかし、先生が板書に書いていなくても、
自分の知らなかったことや、板書だけでは
後でノートを見返した際に解読が難しそうな
ところは、授業中に補足説明としてノートに
しっかりと書いていますか？

以前、「授業中に先生が解説した問題の解き直しをしたら
ノートを板書を見てもよくわからない」と
質問に来た生徒がいました。

復習をしている時点で、よく頑張っているなと思っています。
ただ、その生徒自身が、自分のノートを見返すと、
自分でも何を書いているのかわからないと言うのです。

生の授業で、急いで書いているから乱筆になってしまった
というのならわかるのですが、映像授業でそんなことは
ありえないでしょう。

これ、自分にも当てはまるという方は、
改善策としては、これと真逆の行動をとればＯＫ。

東進の映像授業では、授業中に問題の解説が行われるため、
その解説の前に、自分で手と頭を動かして問題を解いてみて、
授業中は、自分がわからないところを吸収しようという意識を
持ち、自分が予めわかっていなかったことを、先生の話を聞いて
把握し、ノートにしっかりと残しておくようにしましょう。

厳しい言い方をすると、授業を受けて満足してしまっている
のだと思います。

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②復習や授業内容の暗記が不十分
映像授業を見て、「なるほど！」となって終わってしまう
というケース、結構多いのではないでしょうか。

東進などの大手予備校の講師は、知識があって、
なおかつ授業がわかりやすい。
それだけでなく、生徒を楽しませるパフォーマー
でもあるため、「なるほどっ！！」と納得させやすい
という特徴があります。

ただ、「なるほどっ！！」で終わってしまっては
力がつきません。

授業を受けるために東進に入塾するわけでは
ないですよね？
志望校に合格するために、テストで点数をとる
力をつけるために入塾するわけですよね？

授業を受けるだけでは力はつきません。
授業で扱った問題の類題を解いてみて
自力で解けることを確認するところまで
取り組む必要があります。

多くの生徒が好きな数学の青チャートを例にすると、
基本例題で解き方を理解するだけでは不十分。
基本例題の下に付いている練習の問題を手を動かして
解けるかどうか確認するところまでしっかりと
取り組むことが大切です。
(よく時短のために基本例題だけ取り組もうとする高校生
がいますが、そのやり方は推奨しません。)

ですから、予習の段階で解けなかった問題については
授業後に、もう一度手を動かして解いてみて下さい。

東進の授業の中には、テキストに復習用の問題が付随
しているものがありますので、ぜひそれも活用してみて下さい。

③授業後の自主的な問題演習が不十分
上記の①と②を改善した段階である程度効果が
見込めるのですが、できれば③も改善しておきたいところです。

人間は、誰しも残念ながら時間がたてば忘れてしまいます。
授業で一度しっかりと理解した内容でも
入試本番までの間に、何度も何度も繰り返し触れていく
必要があります。

そこで必要になるのが、問題集等を通した問題演習。
(東進の高速基礎マスターでは、数学の基礎力と計算力を
補うための数学 計算演習というコンテンツがあるので、
それを活用するのも手です。)

限られた授業時間内で、全てを網羅することは
できないですから、類題や、類題ではない新たな題材の
問題も、積極的に手を動かして、そして、頭を動かして
解いていって頂きたいと思います。

というわけで、今日は学習の取り組み方について
書かせて頂きました。
これらをしっかりとやり続けることは簡単なことでは
ありません。根気が必要です。
しかし、だからこそ、チャンスなんです。
やる人と、やらない人で、力のつき具合にしっかりと
差が出てきますから。

皆さんはどっち？

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本日、東京大学で入学式が行われました。

去る4月7日(金)には京都大学の入学式が行われ
湊長博学長の式辞をブログでも紹介させて頂きました。
藤井輝夫 東京大学総長の学式の式辞の内容も
とても興味深い内容でした。
https://www.u-tokyo.ac.jp/ja/about/president/b_message2023_01.html

＜イノベーション＞
イノベーションという言葉を聞くと、I-phoneの登場を
連想する方も少なくないと思います。
既存の技術を組み合わせると、それまでにない新たな物が
生まれる、それがイノベーションだったりします。

イノベーションの方法は大きく二つあると
藤井総長はおっしゃています。

『一つは、組織のなかに多様な人材を入れること。
　もう一つは、外に出て、多様な経験をし、人脈を広げることです。
　前者の「多様な人材」に関わるものとして
　ダイバーシティ＆インクルージョン（D＆I）宣言が、
　後者の「多様な経験」に関わる例として「Go Global Gateway」
　「FLY Program」「フィールドスタディ型政策協働プログラム」
　「東京大学グローバル・インターンシップ・プログラム」
　などの大学を社会に開く体験型の活動が浮かびあがってきます。』

ざっと見ても、様々な取り組みをされている
ことを感じます。

アメリカでは、学生が入学前や卒業後などに社会体験活動を行う
猶予期間であるギャップイヤー(Gap Year)というものがありますが、
まさにそれに相当するのが、東京大学の「FLY Program」。
入学直後に1年間の特別休学期間を取得し、ボランティアや就業、
国際交流などの自主的な学外活動を行うことができます。

衆議院議員の河野太郎さんはジョージタウン大学の3年生の頃に
共産圏の国を見てみたいと思い、ポーランド中央計画統計大学に
留学するわけですが、そのときのエピソードを伺うと、
その時の経験が今も生きているんだなと感じます。

ですから、「FLY Program」を活用して、大学のキャンパスを離れ
キャンパス内では経験できない学びをするというのも
イノベーションにつながっていくのだと思います。

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＜学びを社会と結び直す＞
藤井総長のお話でこの言葉が特に刺さりました。
『「学びを社会と結び直す」とは、課題との向き合い方を自分の実践や
　経験から学び直すことであり、その楽しさや大切さを発見することです。』

歴史を振り返ると、日本のロケット開発の父と呼ばれた糸川英夫先生は、
中島飛行機で戦闘機の設計の経験を積んでから、東京大学で航空機体学の
助教授に就任しました。
戦後、第二工学部の施設と人員とを引き継いで設立された生産技術研究所
でスタートさせた、日本のロケット開発に関する本格的な研究は、
現在のJAXA、宇宙科学研究所へとつながっていきます。

また、1919年に岡山県倉敷の民間研究所「大原社会問題研究所」の
初代所長に就任したのは東京帝国大学経済学部教授の高野岩三郎先生で、
そのもとにすぐれた研究者が集まり、当時の労働・社会問題などの調査の発展に
重要な役割を果たしました。

これらの例のように、理系 / 文系問わず、大学での学びは大学内だけで
クローズされているのではなく、社会と繋がってるのです。

大学という研究機関は、社会に対してとても大切な役割を
担っていると思いますし、誰もがワクワク感を持ち、
のびのびと活動できる場であると思います。

受験生にとっては、「受験勉強がしんどい」と感じる
ことも多いと思いますが、大学生活を送るための
大切な準備にあたります。
ですから、今頑張れば、楽しい大学生活が待っている
と思って、共に頑張っていきましょう。

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八千代緑が丘校の轟です。

大学で〇〇学部と様々な学部があるように
高等学校にも、普通科とは別に、理数科や園芸科
など、様々な科があります。

そんな中、熊本県高森町の県立高校である
県立高森高校は今年度、「マンガ学科」を
新設し、去る4月10日に入学式が行われました。
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20230410/k10014034691000.html

マンガ学科では、地元高森町と元『週刊少年ジャンプ』編集長の
堀江信彦氏が率いる出版社「コアミックス」の全面協力の下、
本格的な漫画家育成を図るほか、漫画関連産業への就職や
上級学校への進学も目指すそうです。

記事によると、出版社「コアミックス」の堀江信彦社長は
『個性は一つではなく、多面体です。
　自分の個性に気づけるよう何事にも興味を持つことが大切です。
　勉強にも取り組んでください。
　化学や物理は『必殺技』、英語や国語は『セリフ』を考えるために
　役立ちます』
とエールを送ったそうです。

教科に対してこういう見方があるのだなぁ、なるほどなぁ
と感じました。

学校では、部活は楽しいけれど、授業はつまらない
と感じる高校生も少なくないと思います。
ただ、やらされている勉強だとつまらないのですが、
どのように捉えたら、数学や理科などの科目が
自分にとってためになるだろうかと考えることができれば
部活や体育と同じように、面白い学びとなるのではないか
と思います。

(八千代緑が丘校　轟)

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