おはようございます。
八千代緑が丘校の轟です。
以前、今年の東京大学 理系数学と物理の
問題を解いて、ブログで好評を書かせて頂きました。
ただ、まだ、私の解いた解法と、他の方の解法を
比較していなかったため、今更ではありますが、
東進の解答速報では、どのような解法が
掲載されているかなと気になり、
確認してみました。
どの先生が解答速報を作成されたのかは
わからないのですが、
「この問題は概ね解き方が一緒だなぁ」という
問題や、「なるほど、こうやって解いたのね～」
と思う問題がありました。
(それは必然的ですが…。)
ただ、気になったのは第６問の複素平面の問題。
問題はこちら↓。
(１)と(２)はいいとして、(３)で掲載されている
解法は、勿論、正しいのですが、
「なんで、こんな、手間のかかる解法を
掲載しているんだろう!?」
と思ってしまいました。
東大同日体験受験を受験した新高校３年生の
答案を見ると、私が確認した範囲では、
塾生の中で第６問を完答できた生徒はいませんでした。
ですから、おそらく既に東進の解答速報を通して
復習したと思いますが、あの解法では復習しづらく
なかったですか？
あまりにも、掲載されている答案は微妙だなぁと
思ったので、今回、ブログで別解をご紹介したいと
思います。
私は、(３)は極方程式を活用して解きました。
極方程式を活用すると、詳細は省きますが、
(２)で求めた放物線上の点を
以下のように表現できますね。
更に
という感じで、1/γの実部の最大値と最小値を
簡単に求めることができます。
解答を詳細には書いていませんが、
↑を参考にして、気が向いたら、
自分なりに答案を作ってみて下さい。
(３)を、東進の解答速報のように、
γ＝x+yi(x,y∈ℝ、iは虚数単位)とおくのは
新高校３年生にとっては、その方が発想しやすいかも
しれませんが、それにしても、その後の処理の仕方も
イマイチというか、もっととっつきやすい処理の仕方が
あるのになぁと私は思ってしまいました。
ちなみに、数学の先生や、数学についての知識が多い
大人の方だと、(３)の問題を見ると、ニヤニヤしながら
解いていそうです(笑)
なぜかと言うと、極を焦点に持つような放物線を
反転すると、カージオイドになります。
ですから、(３)は、『1/γがカージオイドの周および内部を動くとき、
x座標の最小値と最大値を求めよ』という問題と同値なんですね。
ですから、カージオイドの式において、θ＝2π/3の時に最小値、
θ＝0のときに最大値をとることにすぐに気が付いてしまうので、
瞬殺問題となります。
でも、こんなこと、高校生は知らないですよね!?
(知っている高校生がいたら、よく学習していると感心します。)
というわけで、今年の東京大学 理系数学の題６問は
2024年、2023年の第６問と比較すると、随分と解きやすい
問題が配置されていたので、今年、受験された方は
最後に少し安心して取り組めたのではないかと思います。
では、今日も皆さん、良い学びとなりますように～♪
（八千代緑が丘校 轟)
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