こんばんは。
八千代緑が丘校の轟です。
定期試験勉強に励む高２年生のＡくんから
数学の質問を頂きました。
問題は、３次関数の最大値の問題でした。
学校や、多くの問題集では、
関数f(x)のグラフの形を考慮して
場合分けして求めると思います。
Ａくんの使っている問題集にも、
場合分けする解法が掲載されておりました。
ただ、場合分けして求める解き方って
面倒ではありませんか？
最大値Ｍ(a)は、f(a/3) (ただし、a≦3) or f(1)の
どちらかのaの関数に絞られるわけですから、
このグラフを描いて、以下のように解を得る解法が
一番てっとり早いと思います。
0＜a≦3/4のとき、f(1) ≧ f(a/3) ⇔ Ｍ(a) ＝ f(1)
3/4＜a≦3 のとき、f(a/3) ≧ f(1) ⇔ Ｍ(a) ＝ f(a/3)
3≦a のとき、Ｍ(a) ＝ f(1) 一択
(∵ f(a/3)の変域はa≦3のため)
↑ 青い曲線：f(1)、緑の曲線：f(a/3)
特に入学試験のように制限時間があり、
点数によって合否が決まるような試験の場合は、
早く簡単に解く解法を選択した方がお薦めです。
ちなみに、このように最大値の候補を絞って、
候補同士の大小を比較する解き方は、
２次関数の最大値・最小値問題にも活用できます。
ですので、これまで場合分けして解いていた
という方は、一度今回ご紹介した解き方を
試してみてください。
（八千代緑が丘校 轟）
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