こんにちは。
八千代緑が丘校 轟です。
昨日のブログでは
『2020年の京都大学 文系数学 前期の第５問と
2022年の共通テスト 数学ⅠA 第３問で
共通の背景は何？』
といったところで終わりましたが、
今日はその続きを書かせて頂きたいと思います。
それは、完全順列（攪乱順列）とか、
モンモールの問題と呼ばれる問題で、
元の問題はこちら↓
「n人に当てた手紙を、n人の宛先を書いた封筒に
ランダムに入れるとき、手紙がすべて違う人宛に
なってしまう場合の数を求めよ。』
この問題は1708 年にモンモールが、
n ＝ 13 の場合の問題として提唱したのです。
一般にn 人の場合において解決したのが、かの有名な
Leonhard Euler(レオンハルト・オイラー)です。
この完全順列の問題について、漸化式を導くことが
できるのですが、それについては、2004年に
東京工業大学の後期試験で出題されました。
こちら↓
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場所1 から場所n に異なるn 個のものが並んでいる。
これらを並び替えてどれもが元の位置にならないようにする
方法の総数をD(n) とする。ただし、n ≧ 2 とする。
(1) n = 4 の場合の並べ替え方をすべて書き出して、
D(4) を求めよ。
(2) n ≧ 4 に対して
D(n)＝(n – 1){D(n – 2)+ D(n – 1)}
を証明せよ。
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昨日、京都大学の過去問についての質問に来たＡくんには
D(n)＝(n – 1){D(n – 2)+ D(n – 1)} (n ≧ 4) …(※)
の式の証明について考えてもらい、自力で導出できるように
教えさせて頂きました。
(※)の式をうまく活用することができれば、
2020年の京都大学 文系数学 前期の第５問も
2022年の共通テスト 数学ⅠA 第３問も
すんなりと答えを導くことができると思いますので、
ぜひ、試してみて下さい。
ただし、私は、今回の完全順列のように、
入試問題の背景となっている問題の知識を知っていると
入試問題をすんなりと解けるようになりますよという
ことをお伝えしたいわけではありません。
2020年の京都大学 文系数学 前期の第５問も
2022年の共通テスト 数学ⅠA 第３問も
完全順列の知識を知らなくても、
十分に解くことができます。
(共通テストでは誘導も付いていますし…。)
入試問題の背景についても楽しみながら、
かつ、それを知らなくても、愚直に考えて
問題を解けるような思考力を磨いていくことが
大切です。
この夏期講習期間、考えに考え抜いて、
真の思考力を身に付けていきましょう！
（八千代緑が丘校 轟）
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