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こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。
「三角関数のグラフがよくわからない」という人が
三角関数のグラフに対する苦手意識が無くなったら
いいなと思ってこのシリーズを書き始めました。
今回は、sin(2θ)のように
θに係数が付いている場合について書きたいと思います。
まずは、以下の２つの二次関数の比較から
始めたいと思います。
f(x)=x^2 ……①
g(x)=(2x)^2 ……②
では次に、f(x)とg(x)がそれぞれ4という値
をとるためのxの値を考えてみます。
f(2) = 2^2 = 4 ……③
g(1) = (2*1)^2 = 4 ……④
が成り立つことから、同じ4という値をとるのに
f(x)ではx=2であるのに対して、g(x)ではx=1となります。
f(x)とg(x)をグラフに描くと下図となりますが、
グラフでもx=2でf(x)=4をとるのに対し、
x=1でg(x)=4をとります。
f(x)のグラフを左右方向に1/2に縮めたグラフがg(x)
となります。
つまり、ある関数f(x)に対して
xを2xに置き換えるとグラフは左右方向に1/2に縮み、
xを3xに置き換えるとグラフは左右方向に1/3に縮み、
xをaxに置き換えるとグラフは左右方向に1/aに縮みます。
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上記のことを踏まえて
f(θ)=sinθ ……⑤
g(θ)=sin2θ ……⑥
の違いを見ていきましょう。
g(θ)=sin2θ=f(2θ)
……⑦
が成り立っているため、f(θ)とg(θ)が同じ値を
とるときのθの値を比べると、
g(θ)ではf(θ)に対して半分のθの値となります。
具体的に、f(θ)とg(θ)が1の値をとるときのθの値
を比べると、
f(θ)ではθ=π/2で1になるのに対し、
g(θ)ではθ=π/4と半分の値で1になります。
グラフに描くと下図となります。
このように、g(θ)=sin2θのグラフは
f(θ)=sinθのグラフを左右方向に1/2に縮んだグラフ
になります。
上のグラフはg(θ)が１周期だけ拡大していますが
f(θ)とg(θ)の全体を描くと以下となります。
というわけで、sin(2θ)のように
θに係数が付くと、左右方向に縮んだり伸びたりすることになります。
係数が1より大きいと縮み、1より小さいと伸びます。
では最終回の次回は、第１回から今回の第４回までの内容を複合させた
2sin(3θ-π/2)という関数のグラフについて書きたいと思います。
(八千代緑が丘校 轟)
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