こんにちは。
八千代緑が丘校の轟です。
では、前回のブログの続きとして、
ロピタルの定理を正しく適用したとしても
使ってはいけない場面を紹介します。
＜循環論法に陥ってはいけない＞
受験では必須で暗記しておかなければならない極限ですが、
このように問題として出てきたならば、
極限を求める過程を記述しなければなりません。
この問題にロピタルの定理を適用して極限の値を求めることは確かにできます。
しかし、それでは答案としてはＮＧです。
循環論法に陥るからです。
ロピタルの定理を使用するためには sin xの微分が
cos xであることを使用します。
しかし，sin xの微分が cos xであること証明するためには
この極限を使用します。
このようにロピタルの定理を使用すると
極端に簡単になる問題においては循環論法の危険性があります。
＜ロピタルの定理は使うべきなのか＞
以上より、ロピタルの定理を使用するためにはある程度の練習が必要ですし、
使用できたとしても適切でない場面もあります。
そもそも、ロピタルの定理を使用すると一気に簡単になる問題は
あまり出題されません。
(私大の小問集合などではたまに見かけはします。)
ですので、受験勉強のコストパフォマンスとしては
割の良いものではありません。
一方で、正攻法が思いつかずこのままでは白紙になるというのであれば、
破れかぶれにでも使ってみたらいいんじゃないかなという程度のものです。
ちなみに、ロピタルの定理は大学1年程度の数学で証明することができます。
＜受験数学でも「弱いロピタルの定理」が出てくる＞
受験数学でもたまに「弱いロピタルの定理」が出てくることがあります。
「弱いロピタルの定理」というのは、ロピタルの定理の条件を強くすることで
高校数学の範囲内でも十分に理解可能なものにした定理です。
2 つ目の ＝ は微分の定義式です。
高校数学の範囲だから範囲でないからなどという小さな話で
とやかくいうのではなく、この定理面白いな使ってみたいなと思うのなら、
ぜひ深く学んで頂きたいなと思います。
(八千代緑が丘校 轟)
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